MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

x,Rj)
xxxviii
f (W s (x,Ri))={[fx,fy]: y∈W s (x,Ri)}⊂ {[f x,z]: z∈W s (f x,Rj)}⊂W s (f
A outra parte da prova para W u é semelhante.
Proposição 1.17. f (∂ s Rj)⊂ ∂ s ℜ e f -1 (∂ u Rj)⊂ ∂ u ℜ.
m
Prova. O conjunto Cij=∪j≥1(int(Ri)∩f -1 int(Rj)) é denso em Ri. Portanto, para todo
x∈Ri podemos encontrar algum j e uma sequência {xn}, com xn∈int(Ri)∩f –
1
(int(Rj)) tal que limxn=x. Então Aij=1, x∈Ri e fx∈Rj. Portanto, pelo Lema 1.16,
fW u (x,Ri)⊃W u (fx,Rj). Se fx∉∂ s ℜ, então W u (fx,Rj) é uma vizinhança de fx em
u
Wε (fx)∩Ωs e assim W u s
(x,Ri) é uma vizinhança de x em Wε (f x)∩Ωs, isto é,
x∉∂ s Ri. Mostramos então que f (∂ s ℜ)⊂ ∂ s ℜ
Com um argumento semelhante, ou aplicando-se o primeiro argumento a f -1 no
lugar de f, mostra-se que f -1 (∂ u ℜ)⊂∂ u ℜ.
Sejam R e S dois retângulos. S será chamado um u-subretângulo de R se
a) S≠∅ e S⊂R e S é próprio.
b) W u (y,S)=W u (y,R) para todo y∈S.
Sejam A e B subconjuntos de Ωs. Vamos definir [A,B]={[x,y]: x∈A e y∈B}.
s u
Lema 1.18. Sejam D⊂Wδ (x)∩Ω e C⊂Wδ (x)∩Ω. Então [C,D] é um retângulo
próprio se e somente se
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D=int(D) e C=int(C)
Prova. Suponha que [C,D] é próprio. Então como M é uma variedade compacta e
[C,D] é fechado, resulta que [C,D] é compacto. Sejam (xn) e (yn) sequências de
pontos em C e D respectivamente, com xn convergindo para x∈Ω e yn para y∈Ω.
Então a sequência ([xn,yn]) em [C,D] possui uma subsequência convergente tal que
lim [xn,yn]= [x,y]∈[C,D]
n →∞ ___ ___
e portanto x∈C e y∈D, o que implica que C=intC e D=intD.
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