MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

para todo x∈ΣA e m>0.
exp(-mP+∑ϕ(σ k x))
k=0
Esse teorema é uma generalização do Teorema 0.7 e sua prova foi realizada por
Sinai, Ruelle e Bowen em 1974.
Dizemos que duas funções ψ e ϕ∈C(ΣA) são homólogas em relação a σ, que
denotamos por ϕ∼ψ, se existe uma u∈C(ΣA) tal que
ψ(x)=ϕ(x)-u(x)+u(σx).
Lema 0.9. Se ϕ1∼ϕ2 e o Teorema 0.8 vale para ϕ1, então vale para ϕ2 e µϕ1=µϕ2.
m-1 m-1 m-1
Prova. |∑ϕ1(σ k x)-∑ϕ2(σ k x)|=|∑(u(σ k+1 x)-u(σ k x))|≤|u(σ m x)-u(x)|≤2||u||.
k=0 k=0 k=0
Assim a exponencial na desigualdade do Teorema 0.8 varia no máximo de um
fator e 2 || u || quando ϕ1 e substituída por ϕ2. Portanto a desigualdade permanece válida
com c1, c2 modificadas e P, µ sem mudanças.
Lema 0.10 [B.1]. Se ϕ∈FA, então ϕ é homóloga a alguma ψ∈FA com ψ(x)= ψ(y)
sempre que xi=yi para todo i ≥ 0.
Os Lemas 0.9 e 0.10 nos dizem que na busca das medidas de Gibbs µϕ, para
ϕ∈FA, podemos restringir nossa atenção para as funções ϕ para as quais ϕ(x)
depende apenas de {xi} ∞
i=0. Ou seja, precisamos obter as medidas de Gibbs para
ϕ∈C(ΣA + )∩(FA), que também serão medidas de Gibbs para toda ϕ∈FA.
Seja σ:ΣA + →ΣA + uma aplicação definida por σ(x)i=xi+1. note que σ é uma
aplicação contínua não injetiva em ΣA + . Se ϕ∈C(ΣA + ) podemos definir ϕ∈C(ΣA)
por ϕ({xi} ∞ i=-∞)=ϕ({xi} ∞
i=0). Também, se ϕ∈C(ΣA) satisfaz a ϕ(x)=ϕ(y) sempre
que xi=yi para todo i≥0, então podemos pensar em ϕ como pertencendo a C(ΣA + ) da
seguinte maneira: ϕ({xi} ∞
i=0) = ϕ({xi} ∞
i=-∞) com os xi, escolhidos de modo que
{xi} ∞
i=-∞∈ΣA. Portanto as funções C(ΣA + ) são identificadas com uma certa subclasse
de C(ΣA).
Para ϕ∈C(ΣA + ) vamos definir o operador de Perron Froebenius L=Lϕ, sobre
C(ΣA + ), por
(Lϕf)(x)=∑e ϕ(y) f(y).
y∈σ -1 (x )
xiv