MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

que µ(A)=0. Deve-se observar que isso não significa que a recíproca é verdadeira,
ou seja, µ(A)=0 não implica em ν(A)=0.
Dizemos que uma função f∈L 1 (X), onde L 1 (X) é o conjunto das funções
integráveis de X em R, é T-invariante se foT=f para quase todo ponto (q.t.p.) x∈X.
Seja X um espaço topológico e T:X→X uma transformação. Uma órbita de um
ponto x∈X é o conjunto dos pontos {T n (x)}: n∈N}. Definimos o ω-limite de um
ponto x∈X como sendo o conjunto dos pontos y∈X tais que para toda vizinhança
U de y a relação T n (x)∈U é satisfeita para infinitos valores n>0. Se X é métrico
isso é equivalente a lim inf d(T n (x),y)=0. Mais formalmente,
ωT(x)={y∈X: ∃ uma sequência ni →+∞ tal que T ni (x)→y}.
Uma transformação contínua T de um espaço topológico X é transitiva se existe
x∈X tal que ωT(x)=X. T é topologicamente transitiva se para todo par de conjuntos
abertos não vazios U e V em X existe um inteiro n tal que T n (U)∩V≠∅. Dizemos
que T é topologicamente mixing se para todo par de aberto não vazios U e V em X
existe N>0 tal que para todo n>N temos que
T -n (U)∩V≠∅.
O lema seguinte mostra que se T é topologicamente transitiva então ela é
transitiva.
Lema 0.4. Se T:X→X é uma aplicação contínua e topologicamente transitiva de
um espaço métrico compacto, então existe um ponto x∈X tal que se U≠∅ é aberto
e N>0, então T n x∈U para algum n≥N.
Prova. Seja U1, U2,... uma base para a topologia. Por transitividade, o conjunto
aberto
Vi,N=∪ T -n Ui
n ≥ N
é denso em X. Então, pelo Teorema sobre Categoria de Baire (Ver [K.1], página
200) o conjunto
A=∩Vi,N
i,N
é denso em X e portanto existe um x∈∩Vi,N
Seja T uma transformação de um espaço de probabilidades (X,A,µ) que preserva
medida. Dizemos que um conjunto A∈A é T-invariante se T -1 (A)=A. A
x