MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

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Como ϕ (u) é Hölder, temos y ∈ En( δ ) ⎜⎜ϕ (u) (x)-ϕ (u) (y)⎪⎪≤ad(x,y) θ para algum θ>0 e todo x,y∈Ωs. Suponhamos que x∈By(ε,n)∩Ωs. Pelo Lema 1.13, temos então para j∈[0,n) Portanto d(f j x,f j y)
Fazendo diam(U)→0 resulta P(ϕ (u) )≤lim inf[(1/n)log m(B(ε,n))] (8) n →∞ Como estamos considerando a restrição de f a Ωs resulta então, de (7) e (8), que Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) )=lim[(1/n)log m(B(ε,n))] n →∞ Mas m(B(ε,n))≤m(M) e portanto Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) )=lim[(1/n)log m(B(ε,n))]≤lim[(1/n)log m(M)]=0 n →∞ n →∞ o que conclui a prova de (a). s s s Temos também m(B(ε,n))≥m(Wε (Ωs)) pois Wε (Ωs)⊂B(ε,n). Se m(Wε (Ωs))>0, a expressão em (a) implica que 0≥ Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) s )=lim[(1/n)log m(B(ε,n))]≥lim[(1/n)log m(Wε )]=0 n→∞ n→∞ e portanto Pf⎥⎥ Ωs(ϕ (u) )=0. Como µ + é um estado de equilíbrio para ϕ (u) , então hµ+(f)+∫ϕ (u) dµ + =Pf ⎜⎜Ωs(ϕ (u) )=0 e portanto hµ+(f)=-∫ϕ (u) dµ + , o que conclui a prova. Um conjunto básico Ωs é um atrator se possui pequenas vizinhanças U com s f(U)⊂U. Observe que, pela Proposição 1.12, isso é equivalente a Wε (Ωs) ser uma vizinhança de Ωs. Lema 2.7. Seja Ωs um conjunto básico de classe C 1 . Então u (a) Se Wε (x)⊂Ωs para algum x∈Ωs, então Ωs é um atrator. (b) Se Ωs não é um atrator, então existe um γ>0 tal que para todo x∈Ωs, existe um u y∈Wε (x) com d(y,Ωs)>γ. u s u Prova. Se Wε (x)⊂Ωs, então o conjunto Ux=∪{Wε (y): y∈Wε (x)} é uma vizinhança de x em M, conforme mostrado no Lema 2.1 de [H.2]. Vamos escolher um ponto periódico p∈Ux, digamos f m u p=p. Para algum β pequeno temos Wβ (p)⊂Ux; se u u u z∈Wβ (p)∩Wε (y), onde y∈Wε (x)⊂Ωs, então d(f n z,f n p)
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