MEDIDAS SRB PARA ATRATORES HIPERBÓLICOS

define um funcional linear não negativo sobre o espaço C 0 (M,R) das funções reais contínuas o
que, pelo Teorema da Representação de Riesz, é uma medida de Borel µ sobre M, com
n-1
∫ϕdµ=E(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x), para qualquer x∈B.
n →∞ j=0
Um fenômeno físico é observável se ocorre para um conjunto de probabilidade positiva.
Portanto, essa medida pode ser observada fisicamente, calculando-se a média temporal das
funções contínuas para pontos x∈B escolhidos aleatoriamente.
Dizemos que uma probabilidade µ, f-invariante, é uma medida física, ou SRB (Sinai-Ruelle-
Bowen), para f se existe um conjunto de medida de Lebesgue positiva B(µ), de pontos x∈M, tal
que
n-1
∫ϕdµ=E(ϕ)=lim(1/n)∑ϕ(f j x), para toda ϕ∈C 0 (M,R).
n →∞ j=0
O conjunto B(µ) é chamado de bacia ergódica de µ. As medidas SRB foram construídas
inicialmente para sistemas do tipo Anosov e posteriormente generalizada para os difeomorfismos
uniformemente hiperbólicos e fluxos.
No caso de uma aplicação hiperbólica f com um atrator Λ, podemos considerar uma medida µ
fisicamente relevante se governa o comportamento de um conjuntos de pontos de medida de
Lebesgue positiva na sua bacia de atração. A princípio pode parecer estranho que uma medida
possa descrever o comportamento médio de pontos fora do seu suporte, mas é exatamente o
ocorre com as medidas SRB.
Uma característica importante de uma medida SRB µ é que sua restrição às variedades
instáveis são compatíveis com os elementos de volumes induzidos nessas subvariedades, ou seja
µ é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue definida sobre as subvariedades
instáveis.
O objetivo do nosso trabalho é de provar a existência de medidas SRB para os atratores
hiperbólicos de sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos (que satisfazem ao Axioma A).
Ele se baseia no trabalho “Equilibrium States and Ergodic Theory of Anosov Diffeomorphisms”
publicado por Rufus Bowen em 1975.
Dividimos este trabalho em três capítulos. No capítulo 0, que chamamos de preliminares,
apresentamos algumas definições e resultados gerais da teoria ergódica, dando ênfase à
transformação shift, à entropia e aos estados de equilíbrio. Os principais resultados desse
capítulo são:
Teorema 0.8 [B.1]. (Existência de medidas de Gibbs). Suponha que ΣA é topologicamente
mixing e ϕ∈FA . Existe uma única medida de probabilidade de Borel σ-invariante para a qual
podemos achar constantes c1>0, c2>0 e P tais que
µ({y : yi=xi, ∀ i=0,...,m-1})
c1≤ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≤c2
m-1
exp(-mP+∑ϕ(σ k x))
k=0
para todo x∈ΣA e m>0.
vi