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Capítulo 1
Preliminares
Este capítulo foi pensado com o intuito de apresentar o maior número de conceitos
e resultados, para que o caro leitor possa ter uma melhor compreensão dos conteúdos
abordados no restante da dissertação.
Fixaremos a seguinte notação que será usada durante todo o texto: as letras N ,
B e H representarão espaços normados, de Banach e de Hilbert respectivamente. Além
disso, a menos que mencionemos o contrário µ representará a medida de Lebesgue.
1.1 Os Espaços L p (Ω)
Definição 1.1.1. Seja Ω ⊆ R n um conjunto aberto. Representa-se por L p (Ω), 1 ≤ p <
+∞, o espaço vetorial constituído pelas funções f : Ω → R mensuráveis, cuja potência p,
|f| p , é integrável à Lebesgue, isto é:
L p
(Ω) = f : Ω → R; f é mensurável e |f(x)|
Ω
p
dx < +∞ , 1 ≤ p < +∞.
A fim de lidar com estes espaços usando as ferramentas da análise funcional,
gostaríamos que eles fossem espaços vetoriais normados. Todavia, o que ocorre é que
a “candidata natural” a definir uma norma em L p (Ω), 1 ≤ p < +∞, que é a função
· L p (Ω) : L p (Ω) → R dada por:
fLp (Ω) =
|f(x)|
Ω
p 1/p dx
é apenas uma semi-norma, uma vez que f L p (Ω) = 0 se, e somente se, f ≡ 0 quase
sempre em Ω.
dada por:
Para driblar essa “deficiência”, define-se em L p (Ω), 1 ≤ p < +∞, uma relação ∼
f ∼ g ⇐⇒ f ≡ g quase sempre em Ω.
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