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Introdução
Seja Ω um aberto limitado do R n , T > 0 um número real fixado arbitrariamente
e Q = Ω × (0, T ) o cilindro do R n+1 . Em 1976, Bensoussan-Lions-Papanicolau ([3])
estudaram o problema misto para a equação hiperbólica-parabólica
k1(x)u ′′ (x, t) + k2(x)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ Q, (1)
onde k1(x) ≥ 0 e k2(x) ≥ β > 0. Observe que no conjunto dos pontos de Ω no qual
k1(x) = 0, a equação (1) degenera em um caso parabólico. Salientamos que a notação ′
significa ∂
∂t
e ∆ denota o Laplaciano em Ω.
Em 1978 em ([15]) Medeiros generalizou os trabalhos de Vagrov ([21]) e Larkin
([10]) ao determinar existência de soluções fraca do problema misto para a equação (1)
com a inclusão de um termo não linear. Ele trabalhou com a seguinte equação:
k1(x)u ′′ (x, t) + k2(x)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) + |u(x, t)| ρ u(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ Q, (2)
com k1 e k2 como em (1).
Em ([8]) Ferreira estuda um problema abstrato que contém a equação anterior
como caso particular. Mais precisamente,
k1(x, t)u ′′ (x, t) + k2(x, t)u ′ (x, t) − ∆u(x, t) + F (u(x, t)) = f(x, t), (x, t) ∈ Q, (3)
com as hipóteses:
blema:
• k1(x, t) ≥ 0 q.s. em Q e k2(x, 0) ≥ β > 0;
• F ∈ C 0 (R) satisfazendo sF (s) ≥ 0, ∀s ∈ R.
Neste trabalho estudamos a existência e unicidade de solução fraca para o pro-
⎧
⎪⎨
(P ) u = 0 em Σ = ∂Ω × (0, T )
⎪⎩ u(0) = u0, k1(x)u ′ (0) = k1(x)u1
Sob as seguintes hipóteses:
k1(x)u ′′ (t) + k2(x)u ′ (t) − ∆u + F (u) = f em Q = Ω × (0, T )
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