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Teorema 1.4.9 (Rellich-Kondrachov). Seja Ω um aberto limitado do R n de classe C 1 .
Então as seguintes imersões são compactas:
(i) Se n > 2, H1 (Ω) c
↩→ Lq (Ω), para q ∈ 1, 2n
; n−2
(ii) Se n = 2, H 1 (Ω) c
↩→ L q (Ω), para q ∈ [1, +∞[;
(iii) Se n = 1, H 1 (Ω) c
↩→ C(Ω).
Demonstração: Ver Adams ([1], p. 144).
Corolário 1.4.10. Se Ω é qualquer domínio limitado do R n , o teorema acima é válido
para H 1 0(Ω) no lugar de H 1 (Ω).
Demonstração: Ver Adams ([1], p. 144).
Observação 1.4.11. Identificando L 2 (Ω) com o seu dual, dos teoremas de imersão acima
temos que:
e portanto
H 1 0(Ω) ↩→ L 2 (Ω) = (L 2 (Ω)) ′ ↩→ H −1 (Ω),
〈f, u〉 H −1 ,H 1 0 = (f, u) L 2, ∀f ∈ L 2 (Ω), ∀u ∈ H 1 0(Ω).
Observação 1.4.12. Uma caracterização do espaço H 1 0(Ω) que é muito útil é dada pelo
Teorema do Traço (para mais detalhe veja Medeiros e Milla ([16], p. 100)), que nos diz
que:
H 1 0(Ω) = {u ∈ H 1 (Ω); u|Γ = 0}.
1.5 A Integral de Bochner
Fixemos um espaço de Banach B, cuja norma representaremos por · e T um
número real positivo.
Definição 1.5.1 (Função simples). Uma função vetorial ϕ : (0, T ) → B é dita simples
quando existem E1, . . . , Ek ⊂ (0, T ), dois a dois disjuntos, com k finito e mensuráveis
tais que existem constantes ϕj, j = 1, 2, ..., k, satisfazendo
(0, T ) ⊃
k
Ei e ϕ|Ei = ϕi
i=1
ϕ| ( k
i=1 Ei) c = 0
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