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Agora, sejam (fn)n∈N uma seqüência de elementos de N ′ e f ∈ N ′ .
Definição 1.2.3 (Convergência Fraca*). Dizemos que fn converge fraco estrela para f
em N ′ , e anotamos
quando
∗
fn
⇀f em N ′
〈fn, ξ〉 → 〈f, ξ〉 , ∀ ξ ∈ N .
É possível definir uma topologia em N chamada de Topologia Fraca que induz
a convergência fraca enunciada acima. Também pode-se definir uma topologia em N ′
chamada Topologia Fraca* que induz a convergência fraca*. Quando se procede dessa
forma, as convergências numéricas usadas nas definições acima passam a ser uma con-
sequência da maneira como as topologias são definidas. Para mais detalhes a respeito
destas topologias consulte Oliveira ([17], p.104).
Não é difícil mostrar que quando N tem dimensão finita, as três convergências
(a fortiori, as três topologias) coincidem.
Um dos motivos para se definir a topologia fraca* é o Teorema de Alaoglu. Se
dim N ′ = ∞ sabe-se que BN ′(0; 1) não é compacto na topologia usual de N ′ Oliveira
([17], p.11). Mas tem-se o
Teorema 1.2.4 (Alaoglu). Se N é um espaço normado, então a bola fechada BN ′(0; 1)
é compacto na topologia fraca*.
Demonstração: Oliveira ([17], p. 108).
proposição.
As principais relações entre estas convergências ficam determinadas pela seguinte
Proposição 1.2.5. Sejam (ξn)n∈N uma seqüência de elementos de N , (fn)n∈N uma seqüência
de elementos de N ′ , ξ ∈ N , e f ∈ N ′ . Tem-se:
(i) Se ξn → ξ em N então ξn ⇀ ξ em N ;
(ii) Se ξn ⇀ ξ em N , então ξn é limitada e ξ ≤ lim inf ξn;
(iii) Se ξn ⇀ ξ em N e fn → f em N ′ então 〈fn, ξn〉 → 〈f, ξ〉;
(iv) Se fn ⇀ f em N ′ então fn⇀f
em N ′ ;
∗
(v) Se fn⇀f
em N ′ e ξn → ξ em N , então 〈fn, ξn〉 → 〈f, ξ〉;
∗
(vi) Se N é um espaço de Hibert então ξn → ξ em N se, e somente se, ξn ⇀ ξ em N e
ξn → ξ .
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