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para alguma ϕ ∈ D(Ω), acarretaria que:
ξ(x0) = 〈δx0, ξ〉 =
Ω
u(x)x − x0 2 ϕ(x)dx = 0.
Pela arbitrariedade de ϕ ∈ D(Ω) segue do Lema de Du Bois Raymond que
u(x)x − x0 2 = 0 quase sempre em Ω, mostrando que u(x) = 0 quase sempre em Ω,
o que implica que ϕ(x0) = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω), o que é um absurdo.
Com a convergência definida em D ′ (Ω) este passa a ser um espaço vetorial to-
pológico. E tem-se a seguinte cadeia de imersões contínuas e densas:
D(Ω) ↩→ L p (Ω) ↩→ D ′ (Ω), 1 ≤ p < +∞.
Passemos à definição de derivada distribucional.
Definição 1.3.13. Dados T ∈ D ′ (Ω), e α ∈ N n , definimos a derivada distribucional de
ordem α de T , como sendo a aplicação D α T : D(Ω) → R definida por:
〈D α T, ϕ〉 = (−1) |α| 〈T, D α ϕ〉 , ϕ ∈ D(Ω).
Proposição 1.3.14. Sejam T ∈ D ′ (Ω) e D α T a derivada distribucional de ordem α de
T . Então D α T ∈ D ′ (Ω), ∀ α ∈ N n .
Demonstração: A linearidade de D α T segue trivialmente da linearidade de T. Para
verificarmos a continuidade, consideremos uma seqüência (ϕν)ν∈N de funções testes sobre
Ω convergindo em D(Ω) para a função teste ϕ. Isto significa que existe K ⊂ Ω compacto
do R n tal que:
supp(ϕν), supp(ϕ) ⊂ K e D α ϕν −→ D α ϕ uniformemente em K, ∀α ∈ N n .
Segue-se daí que D α ϕν −→ D α ϕ em D(Ω), pois supp(D α ϕν) ⊂ supp(ϕν) ⊂ K e
supp(D α ϕ) ⊂ supp(ϕ) ⊂ K; além de que D β ϕν −→ D β ϕ uniformemente em K.
Consequentemente sendo T ∈ D ′ (Ω) é válido que:
Desta forma,
〈T, D α ϕν〉 → 〈T, D α ϕ〉.
|〈D α T, ϕν〉 − 〈D α T, ϕ〉| = |〈T, D α ϕν〉 − 〈T, D α ϕ〉| → 0
o que prova o desejado.
Segue da proposição acima que cada distribuição T sobre Ω possui derivada dis-
tribucional de todas as ordens. Devido a esse fato, as distribuições são às vezes chamadas
de Funções Generalizadas.
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