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Ora, a função numérica t ↦→ C0 u(t) s
X está em Lr/s (0, T ) e a função constante v ≡ 1
pertence a L q (0, T ), onde q é o conjugado de r/s.
Da Desigualdade de Hölder, deduzimos que t ↦→ C0 u(t) s
X pertence a L1 (0, T ).
Segue de (1.2) que t ↦→ u(t) s
Y é integrável, e assim, u ∈ Ls (0, T ; Y ).
Para provar que a imersão é contínua, integramos ambos os lados de (1.2) e
usamos a Desigualdade de Hölder para obter:
T
u(t)
0
s
Y
dt ≤
De (1.3) resulta que:
T
C
0
r/s
0 u(t) r
X dt
s/r T
0
dt
1/q
u L s (0,T ;Y ) ≤ C u L r (0,T ;X) .
Lema 1.6.3. Se θ ∈ L p (0, T ) e v ∈ X então ξ(t) = θ(t)v ∈ L p (0, T ; X).
Demonstração: Devemos mostrar que ξ(t) ∈ L p (0, T ), ou seja,
Com efeito,
T
0
ξ(t) p dt =
contudo por hipótese
T
0
T
0
T
0
θ(t)v p dt =
|θ(t)| p dt < ∞.
Logo, o lema está demonstrado.
ξ(t) p dt < ∞.
T
|θ(t)|
0
p v p dt = v p
T
0
21
= C0T 1/q u s
Lr (0,T ;X) . (1.3)
|θ(t)| p dt,
Observação 1.6.4. Seja Q = Ω × (0, T ), Ω subconjunto aberto do R n . Dada u : Q → R,
denotaremos por u(t) a função definida em Ω por u(t)(x) := u(x, t).
Sabemos que:
Como
L p (Q) =
v : Q → R mensurável ; |v(x, t)|
Q
p
dx dt < ∞ .
|v(x, t)|
Q
p dx dt =
T
0
então identificamos L p (Q) = L p (0, T ; L p (Ω)).
|v(x, t)|
Ω
p dx
dt =
T
0
v(t) p pdt