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Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo, vamos introduzir alguns conceitos e resultados relacionados com as curvas algebróides planas que serão utilizados nesta dissertação. Curvas algebróides são curvas definidas por séries de potências formais, sendo necessário um breve estudo sobre séries de potências. As referências básicas nesta parte são os textos de [H] e [C4]. 1.1 Anel das Séries de Potências Seja K um corpo e X1, X2, . . .,Xr indeterminadas sobre K. Vamos denotar por ℜ = K[[X1, X2, . . .,Xr]] o conjunto de todas as somas formais do tipo f = ∞� Pi = P0 + P1 + P2 + . . ., i=0 onde cada Pi é um polinômio homogêneo de grau i, nas indeterminadas X1, X2, . . .,Xr com coeficientes em K. Consideremos o polinômio nulo como sendo um polinômio homogêneo de qualquer grau. Um elemento de ℜ será chamado uma série de potência formal nas indeterminadas X1, X2, . . .,Xr com coeficientes em K. temos Sejam f = P0 + P1 + P2 + . . . e g = Q0 + Q1 + Q2 + . . . elementos de ℜ. Por definição Em ℜ, definimos as seguintes operações. 1. f + g = ∞� Pi + i=0 f = g ⇔ Pi = Qi, para todo i ∈ N. ∞� Qi = i=0 ∞� (Pi + Qi); i=0 5
1.1 Anel das Séries de Potências 6 2. f · g = ∞� i=0 Pi · ∞� Qi = i=0 ∞� Ck, onde Ck = k=0 k� j=0 Pk−jQj. É fácil verificar que, com estas operações, ℜ é um anel comutativo com unidade chamado, o anel das séries de potências formais em r indeterminadas, com coeficientes em K. anel ℜ. Observe que o corpo K e o anel dos polinômios K[X1, X2, . . .,Xr] são subanéis do Os elementos de ℜ podem ser representados explicitamente na forma onde ai1,i2,...,ir ∈ K. f = ∞� i=0 � i1+i2+...+ir=i ai1,i2,...,irX i1 1 . . . X ir r , Se K é o corpo dos números reais ou dos complexos, podemos considerar o subanel A = K{X1, X2, . . .,Xr} de ℜ das séries de potências absolutamente convergentes numa vizinhança da origem de K r . Em outras palavras, os elementos de A são as séries f para as quais existe um número real positivo ρ, dependendo de f, tal que a série ∞� i=0 � i1+i2+...+ir=i converge absolutamente numa vizinhança da origem. | ai1,i2,...,ir | ρ i1+i2+...+ir O seguinte resultado descreve os elementos inversíveis de ℜ. Proposição 1.1. O elemento f = ∞� Pi em ℜ é inversível se, e somente se, P0 �= 0. i=0 Demonstração: Suponha que o elemento f = ∞� Pi seja inversível, então existe g = ∞� Qi ∈ ℜ tal que i=0 i=0 1 = fg = P0Q0 + (P1Q0 + P0Q1) + . . . . (1.1)
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