UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.6 Índice de Interseção 37
Uma curva Cf definida em uma vizinhança de um ponto O é dita irredutível em O
se, e somente se, seu germe (Cf, O) é irredutível em O.
Definição 1.55. Um germe (Cf, O) é chamado um germe singular ou uma singularidade
da curva se, e somente se, mult((Cf, O)) > 1.
Com isso, podemos dizer que seus representantes têm um ponto singular ou um ponto
múltiplo em O.
Definição 1.56. Dizemos que um germe (Cf, O) não nulo é suave se ele é não singular.
Além disso, se (Cf, O) é suave, também será seus representantes.
Considere (X, Y ) as coordenadas em uma vizinhança de O e seja (a, b) as coordenadas
do ponto O de forma que X = X − a, Y = Y − b sejam as coordenadas locais da origem,
ou seja, a menos de uma translação, podemos considerar que o ponto O é a origem de C 2 .
1.6 Índice de Interseção
Nesta seção introduziremos um método para expressar numericamente a ordem ou o
grau de contato de duas curvas algebróides planas, que é medido pelo índice de interseção.
Seja K um corpo arbitrário e denotaremos por M = 〈X, Y 〉, como usual, o ideal
maximal de K[[X, Y ]].
Definição 1.57. Sejam f, g ∈ M. O índice de interseção de f e g é o inteiro (incluindo
∞) dado por:
I(f, g) = dimK
K[[X, Y ]]
.
〈f, g〉
Com esta definição obtemos o seguinte resultado.
Teorema 1.58. Sejam f, g, h ∈ M, Φ um automorfismo de K[[X, Y ]] e u, v unidades em
K[[X, Y ]]. O índice de interseção satisfaz as seguintes propriedades:
1. I(f, g) < ∞ se, e somente se, f e g são relativamente primos em K[[X, Y ]];
2. I(f, g) = I(g, f);