UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.5 Curvas Planas 33
Definição 1.48. Definimos duas sequências (εi)i∈N e (βi)i∈N de números naturais asso-
ciados a curva (f) como segue:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
β0 = ε0 = mult(f) = n
βj = min{i ; εj−1 não divide i e bi �= 0}, se εj−1 �= 0
εj = m.d.c.(β0, ..., βj) = m.d.c.(εj−1, βj).
Observe que se εj−1 �= 1 então o conjunto min{i ; εj−1 não divide i e bi �= 0} não é
vazio uma vez que a parametrização é primitiva. Portanto os β ,
js estão bem definidos, β1
é igual ao primeiro expoente de t em ϕ(t), onde β1 não é divisível por n.
Temos também que εj divide εj−1 pois εj = m.d.c.(εj−1, βj), para todo j ≥ i e
n = ε0 > ε1 > ε2 > ... .
Consequentemente, para algum γ ∈ N, obtemos εγ = 1 e portanto, a sequência dos βj,
j > 1 é crescente e termina em βγ.
Definição 1.49. Os expoentes característicos de C são os (γ + 1) números naturais
(β0, β1, ..., βγ).
Exemplo 1.50. Considere uma parametrização de Newton-Puiseux de um ramo C,
⎧
⎨
⎩
X = t 6
Y = t 12 + t 15 + t 18 + t 19 .
Da Definição (1.48), temos que β0 = ε0 = 6 e β1 é igual ao primeiro expoente de t
em Y que não é divisível por 6, ou seja, β1 = 15 e ε1 = m.d.c.(6, 15) = 3. Agora β2 é
igual ao menor expoente de t que não é divisível por 3, ou seja, β2 = 19. Assim
ε2 = m.d.c.(ε1, β2) = m.d.c.(β0, β1, β2) = 1.
Assim, os expoentes característicos de C são (β0, β1, β2) = (6, 15, 19).
Note que, os expoentes característicos de um ramo C determina o inteiro εj, já que
εj = m.d.c.(β0, ..., βj).