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Introdução As singularidades das variedades algébricas e analíticas são até hoje um campo de pesquisa ativo que combina técnicas de diferentes campos da matemática, como a Geo- metria, a Álgebra e a Topologia. Algumas curvas, com ponto singular, aparecem nos trabalhos de geômetras da Grécia antiga e a primeira contribuição para um estudo sistemático de singularidades de curvas planas é devido à Isaac Newton. Mesmo que alguns problemas pertinentes ainda per- maneçam em aberto, hoje, após os trabalhos de geômetras como Zariski, Burau, Brauner, Puiseux, Smith, Noether, Enriques e outros, existe uma teoria bem estabelecida para a análise e classificação das singularidades de curvas planas. Por volta da década de 30, Zariski, Brauner e Burau provaram que dois germes de curvas analíticas planas irredutíveis são topologicamente equivalentes se, e somente se, as curvas possuem os mesmos pares característicos. Um dos problemas pertinentes que surgiram foi na tentativa de determinar o tipo topológico da curva polar a partir do tipo topológico da curva plana que a define. Este problema, além de ser antigo, não tem uma solução simples. Pham [P] apresenta o primeiro exemplo mostrando que o tipo topológico da curva polar depende do tipo analítico da curva plana original e não somente do seu tipo topológico. Entretanto, algumas informações sobre a topologia da curva polar deduzidas do tipo topológico da curva plana original podem ser encontradas em [M], [KL], [C1], [C2] e [C3]. Neste trabalho vamos descrever a topologia da curva polar genérica a partir da topologia da curva original, no caso de curvas algebróides planas irredutíveis genéricas com único par de expoentes característicos. 3
ÍNDICE 4 Passemos agora a descrever a estrutura deste trabalho. No capítulo 1, apresentamos os resultados referentes as curvas algebróides planas. Antes porém, é necessário um breve comentário sobre o anel das séries de potências formais. Os principais resultados deste capítulo são o Teorema da Preparação de Weier- strass e o Teorema de Newton-Puiseux. Nas Seções (1.5) e (1.6), vamos introduzir alguns conceitos sobre curvas algebróides planas, tais como parametrização de Newton-Puiseux, expoentes característicos e índice de interseção. O primeiro é uma ferramenta poderosa para estudar as propriedades da curva, o segundo auxilia na determinação da topologia de uma curva plana e o terceiro juntamente com os expoentes característicos, determinam completamente a topologia de curvas planas redutíveis. Ainda neste capítulo, apresentamos o conceito de curvas analíticas planas que nos permite uma interpretação geométrica do conjunto de zeros de um elemento do ideal maximal, devido a propriedade de con- vergência. Finalizamos o capítulo com uma seção voltada especificamente ao Polígono de Newton. O capítulo 2 contém resultados sobre a topologia de curvas planas. Iniciamos com alguns resultados de curvas polares que são obtidas a partir de uma curva plana e em seguida introduzimos uma breve descrição da topologia de curvas analíticas planas. E para finalizar o capítulo, descrevemos o exemplo de Pham com mais detalhes. No capítulo 3, iniciamos descrevendo os monômios que aparecem na curva polar de uma curva algebróide plana irredutível com um par característico. Na sequência, cons- truímos o polígono de Newton da curva polar genérica de uma certa classe de curvas algebróides planas e a partir disto obtemos informações sobre sua topologia. Concluímos o capítulo mostrando que o polígono de Newton da curva polar de qualquer curva algebróide plana irredutível está contido na região limitada pelo polígono de Newton da polar genérica e a polar de um ramo elementar. Para finalizar a descrição, temos o Apêndice A, onde apresentamos os principais resultados sobre frações contínuas, os quais utilizaremos na construção do polígono de Newton da polar genérica, e um pequeno comentário sobre polinômios simétricos.
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