UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.4 Teorema de Newton-Puiseux 19
Assim, 0 = f(X, α) = P(X, α)g(X, α) + R(X, α). Mas α é raiz de g então R(X, α) = 0,
ou seja, α é raiz de R. Se deg(R) < deg(g) temos um absurdo, pois g é o polinômio de
menor grau tal que g(X, α) = 0. Portanto R = 0. Assim, f = Pg. Sendo f irredutível
temos que P é uma unidade então deg(f) = deg(g). Portanto f = g = n�
(Y − αi).
iii) Suponha f(X, Y ) = Y n + a1(X)Y n−1 + ... + an(X) um polinômio de Weierstrass,
ou seja, mult(ai(X)) ≥ i para todo i = 1, ..., n. Como α é raiz de f, segue que
0 = f(X, α) = α n + a1(X)α n−1 + ... + an(X),
ou seja, −α n = an(X) + an−1(X)α + ... + a1(X)α n−1 . Assim,
mult(−α n ) = mult(α n ) = mult(an(X) + an−1(X)α + ... + a1(X)α n−1 ).
Então, deve existir i0 = 1, ..., n tal que
n · mult(α) ≥ mini{mult(ai(X)) + (n − i)mult(α)} = mult(ai0(X)) + (n − i0)mult(α).
Como mult(ai(X)) ≥ i para todo i = 1, ..., n temos
n · mult(α) ≥ i0 + (n − i0)mult(α),
ou seja, n · mult(α) ≥ i0 + n · mult(α) − i0 · mult(α). Donde segue que, i0 · mult(α) ≥ i0,
o que implica que mult(α) ≥ 1.
Se f for um pseudo polinômio temos que mult(ai(X)) ≥ 1 para todo i = 1, ..., n. Daí
obtemos i0 · mult(α) ≥ 1 então,
mult(α) ≥ 1
Teorema 1.27. (Teorema da Função Implícita de Newton) Seja f ∈ K[[X, Y ]]
irredutível e de multiplicidade n e suponha que ∂nf 1
∂Y n(0,
0) �= 0. Então, existe ϕ(X n) =
i0
> 0.
i=1
�