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1.5 Curvas Planas 29 para i = 0, ..., n mult(Ai(X)) ≥ i · mult(An(X)) . (1.6) n Colocando u = u0 + u1Y + ..., com ui ∈ K[[X]], temos que u0 é inversível, logo u0(0) �= 0. Agora de (1.5) temos u0ai + u1ai+1 + ... + un−ian = Ai para todo i = 1, ..., n. Em particular, mult(An(X)) = mult(u0an) = mult(an), ou seja, mult(An(X)) = mult(an). (1.7) A prova será feita por indução sobre i. De fato, para i = n o resultado segue de (1.6) e (1.7). Suponha que o resultado é válido para todo j > i. Como e u0 é inversível, temos u0ai = Ai − (u1ai+1 + ... + un−ian) mult(ai) = mult(u0ai) = mult(Ai − (u1ai+1 + ... + un−ian)) ≥ min{mult(Ai), mult(u1ai+1), ..., mult(un−ian)}. Observe que de (1.6) e (1.7), mult(Ai(X)) ≥ i·mult(an(X)) n que o mínimo do conjunto ocorre em Ai. Logo, mult(ai(X)) = mult(Ai(X)) ≥ e da hipótese de indução segue i · mult(an(X)) n para todo i = 1, ..., n. � Proposição 1.44. Considerando f como na Equação (1.4), as seguintes condições são equivalentes: 1) O cone tangente de (f) é (Y n ); 2) Para todo i ≥ 1, mult(ai(X)) > i.
1.5 Curvas Planas 30 Demonstração: 1) ⇒ 2) Suponha que (Y n ) é o cone tangente de (f), então f é regular em Y . Como f é da forma f = a0(X)Y n + a1(X)Y n−1 + ... + an(X) + Y n+1 · h(X, Y ), com ai(X) ∈ K[[X]], mult(ai(X)) ≥ i para todo i = 1, ..., n, a0(0) �= 0 e h(X, Y ) ∈ K[[X, Y ]], devemos ter mult(ai(X)) > i para todo i = 1, ..., n, pois caso contrário, o cone tangente seria (Y n + aiY n−i ) para algum i = 1, ..., n. 2) ⇒ 1) Suponha que mult(ai(X)) > i para todo i ≥ 1. Note que mult(ai(X)Y n−i ) = mult(ai(X)) + mult(Y n−i ) > n. Logo, o cone tangente da curva (f) é (Y n ) uma vez que a0(X) é unidade. � Suponhamos, agora que f é irredutível de multiplicidade n e regular em Y como em (1.4). Seja P(X, Y ) ∈ K[[X]][Y ] o pseudo polinômio de grau n associado a f como em (1.5) e seja α = ϕ(X 1 n) ∈ K[[X 1 n]] onde n = min{q ∈ N; α ∈ K((X 1 q ))} tal que P(X, Y ) = P(X, ϕ(X 1 n)) = 0, o que é garantido pelo Teorema da Função Implícita (Teorema (1.27)). Tomando t = X 1 n então t n = X, assim temos ϕ(t) ∈ K[[t]] e f(t n , ϕ(t)) = 0. Nesta situação obtemos: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ X = t n Y = ϕ(t) = � biti , com bm ∈ K\{0} i≥m (1.8) uma parametrização de f chamada parametrização de Newton-Puiseux da curva (f). Qualquer outra raiz de P dará outra parametrização de Newton-Puiseux (t n , ψ(t)) do ramo (f), onde ψ(t) = ϕ(ξt) e ξ é uma n-ésima raiz da unidade. Estas são as únicas parametrizações da curva (f) da forma (t n , ϕ(t)).
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