UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.7 Polígono de Newton 43
Observação 1.72. Assuma que um lado L do polígono de Newton começa no ponto
(α0, δ0) e termina no ponto (α1, δ1) e sejam γ1, γ2, ..., γk os ramos correspondentes à L,
ou seja, os ramos cuja série de Newton-Puiseux possui termo inicial de ordem m
n .
Seja nt a multiplicidade de γt. Segue novamente da prova construtiva do Algoritmo
de Newton que
δ1 − δ0 =
k�
nt. (1.11)
Exemplo 1.73. Considere a série f(X, Y ) = Y 4 + 2X 3 Y 3 + 5X 5 Y 2 + 6X 3 Y + X 8 em
C[[X, Y ]]. Então, o polígono de Newton é da seguinte forma:
4
3
2
1
�
δ
�
�
1 2 3 4 5 6 7 8
�
�
α
t=1
Figura 1.1: Polígono de Newton de f(X,Y )
Com isto, concluímos que o polígono de Newton começa no ponto P0 = (8, 0) e termina
no ponto P3 = (0, 4), tem altura h(N) = 4 e largura ω(N) = 8. A inclinação de cada lado
é − 1
5
e −1, respectivamente.
Uma parametrização de Newton-Puiseux de f(X, Y ) é dada por:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = t
y = R(Z 3 + 6)t − 2
3 t3 + ...
onde R é a raiz do polinômio p(Z) = Z 3 + 6.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x = t
y = − t5
6
+ ...,
Pela Observação (1.72), altura de um lado é 1 = k�
nt, onde nt é multiplicidade
de cada ramo correspondente ao lado de altura 1 e para o outro lado é 3 = k�
nt. Da
parametrização, obtemos que nt = 1 para ambos os casos. Assim, podemos concluir que
existe um ramo da curva correspondente ao lado de altura 1 e três ramos correspondentes
ao lado de altura 3. Com isto, temos que o número de lados do polígono é menor que o
número de ramos da curva f(X, Y ).
t=1
t=1