UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.7 Polígono de Newton 41
conjunto de pontos discretos com coordenadas inteiras não negativas,
∆(f) = {(α, δ); aα,δ �= 0}
que é chamado o diagrama de Newton de f.
Estamos interessados em uma linha poligonal cujos vértices são pontos de ∆(f) e cujos
lados deixam as coordenadas da origem e todo diagrama em diferentes semiplanos. Para
isto, primeiro translade ∆(f) pela ação de todos vetores com componentes não negativas
de forma a obter o conjunto
∆ ′ (f) = ∆(f) + R 2 + .
Então considerando o fecho convexo ∆(f) de ∆ ′ (f), isto é, o conjunto convexo minimal
contendo ∆ ′ (f). O bordo de ∆(f) consiste da união de duas semirretas paralelas aos eixos
e uma linha poligonal (talvez reduzida a um único vértice).
Esta linha poligonal é, por definição, o polígono de Newton de f o qual denotare-
mos por N(f). Usaremos somente N quando não houver risco de confusão.
No que segue, consideraremos um polígono de Newton e seus lados orientados da
direita para esquerda e de baixo para cima. Assim, se os vértices de um polígono de
Newton, de acordo com a orientação, são Pi = (αi, δi), i = 0, ..., k então αi−1 > αi e
δi−1 < δi, i = 0, ..., k. Neste caso, diremos que N começa em P0 e termina em Pk. P0 e
Pk serão chamados respectivamente, o primeiro e o último vértice do polígono.
A altura h(N) e a largura ω(N) do polígono de Newton são definidos, respectivamente,
como a ordenada máxima e a abscissa máxima de seus vértices, isto é, h(N) = δk e
ω(N) = α0.
Os próximos três lemas são elementares.
Lema 1.64. O polígono de Newton de f começa (respectivamente, termina) sobre o eixo
α (respectivamente, eixo δ) se, e somente se, f não tem fator Y (respectivamente, fator
X).
Lema 1.65. O polígono de Newton de f é reduzido a um único vértice se, e somente se,
f = uX α Y δ , onde u é uma unidade.