UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

2.1 Curvas Polares 45
Vejamos algumas propriedades das curvas polares:
Proposição 2.2. A curva polar (Pg(f)) é invariante por mudanças de coordenadas.
Demonstração: Sejam f, g ∈ M com (g) uma curva suave e considere o seguinte
C-automorfismo de C[[X, Y ]] dado por
ϕ : C[[X, Y ]] −→ C[[X, Y ]]
X ↦−→ R(X, Y )
Y ↦−→ T(X, Y ) ,
onde R(X, Y ) = aX +bY +h1(X, Y ), T(X, Y ) = cX +dY +h2(X, Y ) e mult(h1(X, Y )) ≥
2, mult(h2(X, Y )) ≥ 2. Pela Proposição (1.39), se ϕ é um C- automorfismo, então as
formas iniciais de R(X, Y ) e T(X, Y ) são linearmente independentes. Logo ad − bc �= 0.
Primeiramente note que, ϕ(f) = f(R(X, Y ), T(X, Y )) e ϕ(g) = g(R(X, Y ), T(X, Y ))
satisfazem
∂(ϕ(f), ϕ(g))
∂(X, Y ) =
�
�
�
�
�
= �
�
�
�
∂f ∂R
∂R ∂X
∂g ∂R
∂R ∂X
Logo,
�
�
�
�
�
�
�
�
+ ∂f
∂T
+ ∂g
∂T
∂ϕ(f)
∂X
∂ϕ(g)
∂X
∂T
∂X
∂T
∂X
�
� ∂R
�
�
= � ∂X
�
� ∂T
�
∂X
∂(ϕ(f), ϕ(g))
∂(X, Y )
∂ϕ(f)
∂Y
∂ϕ(g)
∂Y
�
�
�
�
�
�
�
�
=
∂f ∂R ∂f
+
∂R ∂Y ∂T
∂g ∂R
∂R ∂Y
∂R
∂Y
∂T
∂Y
�
�
�
�
�
�
�
�
∂T
∂Y
∂T
∂Y
∂g
+
∂T
� �
� � ∂f
� �
� �
�
� · � ∂R
�
� � ∂g
� �
∂R
∂f(R(X, Y ), T(X, Y ))
∂X
∂g(R(X, Y ), T(X, Y ))
∂X
�
�
�
�
�
�
�
�
�
∂f
∂T
∂g
∂T
∂(R, T) ∂(f, g)
= ·
∂(X, Y ) ∂(R, T) .
=
�
�
�
�
�
� =
�
�
∂(R, T)
Agora, observe que as curvas determinadas por
mas, uma vez que
∂(R, T)
∂(X, Y )
� ⎛
�
�
� ⎜
� ⎜
� ⎜
� ⎝
�
�
é uma unidade. Com efeito,
∂R
∂X
∂T
∂X
∂R
∂Y
∂T
∂Y
⎞
∂f(R(X, Y ), T(X, Y ))
∂Y
∂g(R(X, Y ), T(X, Y ))
∂Y
⎛
⎟
⎠ ·
⎜
⎝
∂(f, g)
·
∂(X, Y ) ∂(R, T) .
∂(ϕ(f), ϕ(g))
∂(X, Y )
e
∂f
∂R
∂g
∂R
∂(f, g)
∂(R, T)
∂f
∂T
∂g
∂T
⎞ �
�
�
⎟ �
⎟ �
⎟ �
⎠ �
�
�
são as mes-
�
�
�
�
�
�
�
�