UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.1 Anel das Séries de Potências 7
Mas a Equação (1.1) equivale ao seguinte sistema de equações
⎧
⎪⎨
⎪⎩
P0Q0 = 1
P1Q0 + P0Q1 = 0
................................
PnQ0 + Pn−1Q1 + . . . + P0Qn = 0
.................................
(1.2)
Da primeira equação do Sistema (1.2) e do fato que K é um corpo, segue que existe
Q0 ∈ K tal que P0Q0 = 1, consequentemente P0 �= 0.
Reciprocamente, suponha que P0 �= 0. Então o Sistema (1.2) possui uma solução
dada da seguinte forma:
Q0 = P −1
0 , Q1 = −P −1
0 (P1Q0), . . .,Qn = −P −1
0 (PnQ0 + . . . + P1Qn−1).
Assim, tomando g = Q0+Q1+. . . em ℜ temos que fg = 1 e neste caso f −1 = g. Portanto
f é inversível em ℜ. �
Um elemento inversível de ℜ é chamado de unidade.
Exemplo 1.2. Seja f = 1 + X uma série de potência em C[[X]]. Da Proposição (1.1)
segue que f é inversível pois P0 = 1 �= 0. Com o Sistema (1.2) podemos encontrar a
inversa de f. Uma vez que P1 = X temos que
Q0 = 1, Q1 = −X, Q2 = X 2 , . . ., Qn = (−1) n X n ,
e f −1 = 1 − X + X 2 − X 3 + ... + (−1) n X n + ....
Definição 1.3. Dois elementos f e g em ℜ são ditos associados se existe uma unidade
u ∈ ℜ tal que f = ug.
Definição 1.4. Seja f ∈ ℜ\{0}. Suponha que f = Pn + Pn+1 + . . ., onde cada Pi é um
polinômio homogêneo de grau i e Pn �= 0. O polinômio homogêneo Pn é chamado forma
inicial de f. O inteiro n é chamado multiplicidade de f e é denotado por mult(f). Se
f = 0, definimos mult(f) = ∞.