UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.2 Teorema da Preparação de Weierstrass 9
Como Pn �= 0 segue que Pn é a forma inicial de f ± g. Logo n = mult(f ± g) =
min{mult(f), mult(g)}. �
Exemplo 1.6. Considere f(X, Y ) = 4X 2 + 3XY + X 3 + Y 4 + . . . e g(X, Y ) =
X 2 + 2XY + X 4 + X 2 Y 3 + . . . séries de potências em Z5[[X, Y ]], no qual a mult(f) =
mult(g) = 2. Então
cuja multiplicidade é igual a 3.
f + g = X 3 + X 4 + Y 4 + X 2 Y 3 + . . .
Consideremos f, g ∈ ℜ\{0} então mult(f) < ∞ e mult(g) < ∞. Do item (1) da
Proposição (1.5) segue que mult(fg) = mult(f) + mult(g) < ∞. Logo, fg �= 0. Isto
implica que o anel ℜ é um domíno.
Denotaremos por Mℜ = 〈X1, X2, . . .,Xr〉 o ideal de ℜ gerado por X1, X2, . . .,Xr.
Denotaremos também por M i ℜ a i-ésima potência do ideal Mℜ e por M 0 ℜ
Proposição 1.7. O ideal Mℜ é o único ideal maximal de ℜ e �
M
i∈N
i ℜ
= ℜ.
= {0}.
Demonstração: Veja Proposition (1.1.4) de [H]. �
1.2 Teorema da Preparação de Weierstrass
Nesta seção vamos estudar algumas propriedades algébricas dos anéis das séries de
potências formais. Mais precisamente o Teorema da Preparação de Weierstrass que reduz o
estudo de uma série de potência formal a um certo polinômio em uma das indeterminadas.
Seja K((X)) o corpo de frações do anel das séries de potências formais em uma
indeterminada K[[X]]. Seja h = f
g ∈ K((X))\{0}, com f = Xm u e g = X n v, onde
m, n ∈ N e u e v são unidades em K[[X]].
Assim temos que
onde r ∈ Z e w é uma unidade em K[[X]].
h = X m−n uv −1 = X r w, (1.3)