UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.3 Fatoração de Séries de Potências 13
T : K[X1, . . .,Xr] → K[Y1, . . .,Yr] e disso segue que T é um automorfismo já que αr �= 0.
�
strass.
Do corolário acima, obtemos o seguinte corolário do Teorema da Preparação de Weier-
Corolário 1.16. Seja f ∈ ℜ\{0} de multiplicidade n ≥ 1. Então existem um K- auto-
morfismo T de ℜ, uma unidade u ∈ ℜ e A1, . . .,An ∈ ℜ ′
i = 1, . . .,n e
T(f) · u = X n r + A1X n−1
r
+ . . . + An.
tais que mult(Ai) ≥ i para todo
Demonstração: Como K é infinito segue do Corolário (1.15) que existe um automor-
fismo linear T tal que T(f) é regular na última indeterminada. Como mult(f) = n segue
que T(f) é regular e mult(T(f)) = n. Assim, do Teorema (1.13) existem uma unidade
u ∈ ℜ e A1, . . .,An ∈ ℜ ′
O polinômio X n r
tais que mult(Ai) ≥ i para todo i = 1, . . ., n e
T(f) · u = X n r
+ A1X n−1
r
+ . . . + An.
n−1 n−2
+A1Xr +A2Xr +. . .+An associado a f, depois de possivelmente
uma mudança de coordenadas, será considerado uma preparação de Weierstrass de f.
1.3 Fatoração de Séries de Potências
Nesta seção estudaremos a fatoração no anel ℜ = K[[X1, X2, . . .,Xr]].
Definição 1.17. Um pseudo polinômio (respectivamente, um polinômio de Weierstrass)
em Xr é uma série de potência em ℜ da forma,
P(X1, . . .,Xr) = X n r
+ A1X n−1
r
+ . . . + An ∈ ℜ ′
[Xr]
tal que n ≥ 1 e mult(Ai) ≥ 1 (respectivamente, mult(Ai) ≥ i), para todo i = 1, . . .,n.
Entendemos por polinômio mônico em uma variável como sendo um polinômio em
que o coeficiente do termo de grau mais alto é um.
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