UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.5 Curvas Planas 35
Observe que, da Definição (1.48) obtemos,
ε0 = 12, ε1 = 6 ε2 = 3 ε3 = 1
β0 = 12, β1 = 30, β2 = 33, β3 = 40.
Logo, os expoentes característicos de C são (12, 30, 33, 40). Com isto, podemos deter-
minar os pares característicos.
η1 = ε0
ε1
µ1 = β1
ε1
= 2 η2 = ε1
ε2
= 5 µ2 = β2
ε2
= 2 η3 = ε2
ε3
= 11 µ3 = β3
Portanto os pares de Puiseux são (2, 5), (2, 11) e (3, 40).
1.5.3 Germes de Curvas Analíticas
ε3
= 3
= 40.
Neste momento estamos interessados no estudo de curvas restritas a uma vizinhança
de um ponto da curva. Para tanto, faz-se necessário o conceito de curvas analíticas.
Vamos nesta seção considerar K como o corpo dos números complexos e C{X, Y } o
anel das séries de potências absolutamente convergentes numa vizinhança de um ponto
O de C 2 . Todos os resultados apresentados anteriormente para K[[X, Y ]] podem ser
demonstrados para C{X, Y }.
A propriedade extra da convergência permite uma interpretação geométrica do con-
junto dos zeros de um elemento f do ideal maximal M = 〈X, Y 〉 do anel C{X, Y }.
Definição 1.52. Definimos uma curva analítica plana definida por f ∈ M como
Cf = {(x, y) ∈ U; f(x, y) = 0},
onde U ⊂ C 2 é uma vizinhança suficientemente pequena de um ponto O de C 2 .
Um ponto P = (a, b) ∈ Cf é singular se f(P) = fX(P) = fY (P) = 0, onde fX e fY
são as derivadas parciais de f com respeito a X e a Y . Caso contrário, P é dito regular