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1.6 Índice de Interseção 39 onde (t n , ϕ(t)) é qualquer parametrização primitiva de f e pondo vf(0) = ∞. Teorema 1.62. Sejam f e g pseudo polinômios em K[[X]][Y ]. Seja f = f1 · ... · fr uma decomposição de f em fatores irredutíveis. Então, I(f, g) = r� i=1 vfi (g). Demonstração: Ver demonstração em [H]. � Observe que pelo teorema acima, se f for irredutível então I(f, g) = vf(g) para todo g ∈ K[[X, Y ]]. Teorema 1.63. Sejam f, g ∈ M. Então I(f, g) ≥ mult(f) · mult(g) com igualdade se, e somente se, (f) e (g) não possuem tangentes em comum. Demonstração: Sejam f = f1 · ... · fr e g = g1 · ... · gs a decomposição de f e g em fatores irredutíveis. Do Teorema (1.58) item (2) e (4) obtemos, I(f, g) = � I(fi, gj). (1.9) Por outro lado, como mult(h1h2) = mult(h1) + mult(h2) temos i,j mult(f)mult(g) = � mult(fi)mult(gj). (1.10) Logo, se I(fi, gj) ≥ mult(fi) · mult(gj), para todo i, j, temos de (1.9) e (1.10) que i,j I(f, g) = � I(fi, gj) ≥ � mult(fi)mult(gj) = mult(f) · mult(g). i,j i,j Portanto, podemos observar que é suficiente provarmos o teorema para f e g irredutíveis. Do item (3) do Teorema (1.58) o índice de interseção é invariante por mudança de coordenadas. Sendo assim, podemos assumir, após uma mudança de coordenadas ade-
1.7 Polígono de Newton 40 quada, que f é regular em Y , isto é, a reta tangente da curva (f) é Y e a curva (f) admite uma parametrização de Newton-Puiseux da forma ⎧ ⎨ ⎩ X = t n Y = ϕ(t) = t β1 + � onde n = mult(f) < β1 e n não divide β1. Agora suponha que mult(g) = m e i>β1 bit i , g(X, Y ) = (aX + bY ) m + gm+1(X, Y ) + ..., onde gm+i(X, Y ) com i ≥ 1 é um polinômio homogêneo de grau m+i. Então pelo Teorema (1.62) temos que I(f, g) = vf(g) = mult(g(t n , ϕ(t))) = mult((at n + bϕ(t)) m + gm+1(t n , ϕ(t)) + ...) ≥ nm = mult(f)mult(g). Com igualdade válida se, e somente se, a �= 0, isto é, a reta tangente de (g) não é Y , ou ainda, as retas tangentes das curvas (f) e (g) são distintas uma vez que, a reta tangente de (f) é Y . Disso segue o resultado. � 1.7 Polígono de Newton Nesta seção apresentaremos um método algébrico para fatorar uma série de potências formal f ∈ C[[X, Y ]] que é exclusivamente devido a Newton, embora fosse completado depois pelos trabalhos de Cramer e Puiseux. Fixe sobre um plano π = R 2 um sistema de coordenadas ortogonais α, δ. Convencio- nando as orientações usuais do R 2 . Considere f = � aα,δX α,δ≥0 αY δ como um elemento de C[[X, Y ]]. Para cada par (α, δ) com aα,δ �= 0 plotamos sobre π o ponto de coordenada (α, δ) de forma a obtermos um
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