UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.5 Curvas Planas 23
guns resultados sobre curvas algebróides e analíticas planas. Vamos determinar uma
parametrização para uma dada curva plana, chamada parametrização de Newton-Puiseux
e a partir dela definir os expoentes característicos da curva.
1.5.1 Curvas Algebróides Planas
Na Definição (1.3), definimos elementos associados e isto nos motiva a seguinte
definição.
Definição 1.33. Uma curva algebróide plana é a classe de equivalência de um ele-
mento não inversível f de K[[X, Y ]] \ {0} módulo a relação de associado.
Considere f ∈ K[[X, Y ]] \ {0}. Denotaremos por (f) a curva algebróide plana deter-
minada por f, ou seja,
(f) = {uf; onde u é uma unidade em K[[X,Y]]}.
Por definição, temos que (f) = (g) se, e somente se, existe uma unidade u ∈ K[[X, Y ]]
tal que g = uf.
Como a multiplicidade de uma série de potências formal é invariante por multiplicação
por uma unidade, podemos definir a multiplicidade de uma curva algebróide plana (f)
como sendo a multiplicidade de f.
Definição 1.34. Uma curva algebróide plana é dita regular (ou suave) se esta possui
multiplicidade igual a um. Quando a multiplicidade é maior que um, dizemos que a curva
é singular.
Seja (f) uma curva algebróide plana, dizemos que a curva (f) é irredutível se a série
de potências formal f é irredutível em K[[X, Y ]]. Note que a noção de irredutibilidade
independe do representante da curva pois, se g ∈ (f) fosse redutível, então como g = uf
para alguma unidade u ∈ K[[X, Y ]], logo teríamos que f = u −1 g também seria redutível,
o que é uma contradição.
Uma curva algebróide plana irredutível será chamada um ramo.