UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.2 Teorema da Preparação de Weierstrass 11
Exemplo 1.11. A série f(X, Y ) = XY 3 + Y 4 + X 5 é regular de ordem 4 em Y e regular
de ordem 5 em X. Enquanto a série g(X, Y ) = XY 2 + 4X 2 Y − X 5 Y 2 não é regular com
relação a nenhuma das indeterminadas.
O seguinte resultado é uma consequência direta da definição.
Lema 1.12. Dados f, g ∈ ℜ, então fg é regular com respeito a Xj, de uma certa ordem
se, e somente se, f e g são regulares com respeito a Xj, de determinadas ordens.
ximal.
Denotaremos no que segue por ℜ ′
o anel K[[X1, . . .,Xr−1]] e por M ℜ ′ seu ideal ma-
O próximo Teorema permite-nos reduzir o estudo de uma série de potência formal, a
menos de unidade, ao estudo de um polinômio em uma das indeterminadas, digamos Xr,
com coeficientes no anel ℜ ′
.
Teorema 1.13. (Teorema da Preparação de Weierstrass) Seja f ∈ ℜ uma série
regular com respeito a Xr de ordem n ≥ 1. Então existem uma unidade u ∈ ℜ e
A1, . . .,An ∈ M ℜ ′, unicamente determinados por f, tais que
f · u = X n r + A1X n−1
r
+ A2X n−2
r
+ . . . + An.
Além disto, se f é regular em Xr, isto é, n = mult(f), então mult(Ai) ≥ i para todo
i = 1, . . .,n.
Demonstração: Veja [HKT] (Theorem 4.11). �
No Teorema (1.13), atribuímos a condição de f ser regular mas, como veremos a seguir,
esta condição não é tão restrita como pode parecer. Assumindo K infinito, mostraremos
que depois de compor f com um automorfismo linear de ℜ, podemos transformar f em
uma série regular em uma das indeterminadas escolhida arbitrariamente. No caso de K
finito, não é possível garantir a existência de automorfismo linear, mas é sempre possível
encontrar um automorfismo de ℜ que transforma f em uma série regular em uma das
indeterminadas. Como estamos interessados quando K é um corpo infinito, vamos nos
restringir a este caso.