UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

1.4 Teorema de Newton-Puiseux 17
Observe que os elementos de ∞�
q=1
K((X 1
q )) podem ser escritos da forma
α = b1X p 1
q1 + b2X p 2
q2 + ...,
com bi ∈ K, pi, qi ∈ Z, qi > 0 para todo i ≥ 1 e p1
q1 � �
pi;
i ∈ N \ {0} admite um denominador comum.
qi
Se b1 �= 0, então o número racional p1
q1
< p2
q2
< ..., onde o conjunto
é chamado a multiplicidade de α e podemos
denotar por multX(α). Por comodidade, se α = 0, definimos multX(α) = ∞.
Note que α é uma série de potências fracionária em X, se multX(α) > 0 dizemos que
α é uma série de Newton-Puiseux.
Teorema 1.23. Toda extensão finita de K((X)) é da forma K((X 1
n)) para algum n ∈
N \ {0}.
Demonstração: Veja Lemma (3.2.1) de [H]. �
É possível provar que a extensão K((X 1
n))/K((X)), além de finita e galoisiana possui
grupo de Galois isomorfo ao grupo Un, onde Un é o grupo multiplicativo das n-ésimas raízes
da unidade em K. Este grupo é cíclico porque é um subgrupo do grupo multiplicativo do
corpo K e tem ordem n sempre que o polinômio X n − 1 é separável sobre K.
Observação 1.24. Vale lembrar que, ao somar todos os elementos de Un isso resulta
no elemento neutro da adição. De fato, considere ω como sendo uma raiz primitiva da
unidade. Então
1 + ω + ω 2 + ... + ω n−1 = ωn − 1
ω − 1 .
Mas ω n = 1 então ωn − 1
ω − 1 = 0. Portanto, 1 + ω + ω2 + ... + ω n−1 = 0.
O seguinte resultado descreve a extensão algébrica principal de K((X)), isto é, o corpo
K((X))(α), obtido pela adjunção de K((X)) com o elemento algébrico α ∈ K((X)). Nesta
situação, sabemos da teoria geral de corpos que
K((X))(α) = K((X))[α] = {P(α); P ∈ K((X))[Y ]}.