Raport de cercetare - Lorentz JÄNTSCHI

69
distribuţiei valorilor în eşantion sunt majore. Testul t a fost introdus în 1908 [ ] pentru a compara
două eşantioane provenite din populaţii distribuite normal cu varianţă egală, extins pentru calculul
intervalului de încredere al coeficienţilor unei ecuaţii de regresie în 1922 [ 70 ] şi a fost generalizat
pentru compararea a două eşantioane provenite din populaţii distribuite normal cu varianţă diferită
în 1947 [ 71 ].
Probabilitatea asociată valorii medii obţinută dintr-un eşantion cu valoarea medie cunoscută a
populaţiei din care provine se face din distribuţia Student t cu formula:
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ m1
− μ1
t , n −1⎟
(15)
⎜ m ⎟
2
⎜
⎟
⎝ n −1 ⎠
Probabilitatea asociată diferenţei a două valori medii obţinute din două eşantioane (Y1 şi Y2) se face
similar cu formula:
⎛
⎞
⎜
⎟
2
2
2
⎜ m
( ) ⎟
1(
Y1
) − m1(
Y2
) m2
( Y1
) n(
Y1
) + m2
( Y2
) n(
Y2
)
t ⎜
,
4
4 ⎟
(16)
2
2
⎜ m2
( Y1
) m2
( Y2
) m2
( Y1)
m2
( Y2
)
+
+
⎟
3
3
⎜
Y − ( n(
Y −
− ⎟
2)
1
1)
1)
( n(
Y2
) 1)
⎝ n(
Y1
) −1
n(
⎠
⎛
3 2
2 2
( ) ⎞
⎜ m1
( Y1
) − m1(
Y2
) ( n −1)
m2
( Y1)
+ m2
( Y2
)
t n −1
,
⎟ , n = n(Y1) = n(Y2)
⎜
2
2
2 4
4
+ ⎟
⎝ m ( Y ) + m ( Y ) n m2
( Y1)
m2
( Y2
)
2 1 2 1
⎠
Probabilităţile asociate valorilor parametrilor ecuaţiei de regresie se obţin din:
⎜
⎟
⎝
Y) ⎠
ˆ
⎛
⎞
⎜
bi
m−
| B |
⎟
⎧ n + 1,
( eq1)
m
2
t
, m−
| B | B | = ⎨
= ∑ i − Yi )
s( bi
) SE(
Y,
⎩n,
( eq2)
i=
1
ˆ
Y) ( Y ˆ
; | ; SE ( Y,
(17)
unde valorile varianţei parametrilor B = (bi)i≥ se obţin odată cu parametrii estimaţi folosind formula,
în care X este matricea descriptorilor (în formulare matriceală Ŷ=X·B):
T −1
s(
bi
) = ( X ⋅X)
i,
i
(18)
Analiza de varianţă este o tehnică care constă în separarea varianţei totale a datelor în componente
logic asociate cu surse specifice de variaţie. Ipoteza de analiză este că erorile sunt independente,
identice şi distribuite normal: ε ~ N(0,σ 2 ).
Pentru un set de observaţii grupate pe categorii (Oi,j)1≤i≤m;1≤j≤n unde m este numărul de categorii şi n
numărul de observaţii din fiecare categorie, următorul tabel (Tabelul 26) cumulează analiza de
varianţă:
Tabelul 26. Analiza de varianţă în observaţii grupate pe categorii
Parametru Grade de Suma pătratelor Varianţă Valoarea F
libertate
total m·n-1
2
m ⎛ n
m n 1 1 ⎞
SST MSA
SST = ∑⎜∑∑ ∑ ⎟
⎜
Oi,
j − O
MST =
≈
i,
j ⎟
i=
1 ⎝ j=
1 m i=
1 n
m ⋅n
−1
MSE
j=
1 ⎠
F(
m −1,
n)
model m-1
2
2
m ⎛ n ⎞
m n 1 ⎛ ⎞
SSA
(m×n)
SSA = ⎜ O ⎟ i,
j − ⎜ O ⎟ MSA =
∑∑ ⎜ ⎟
i,
j
i 1 j 1 m ⎜∑∑
⎟
n(
m −1)
= ⎝ = ⎠ ⎝ i=
1 j=
1 ⎠
[ 69 ] Student (William S. GOSSET). 1908. The Probable Error of a Mean. Biometrika 6(1):1-25.
[ 70 ] Ronald A. FISHER. 1922. The Goodness of Fit of Regression Formulae and the Distribution of Regression
Coefficients. Journal of the Royal Statistical Society 85:597-612.
[ 71 ] Bernard L. WELCH 1947. The generalization of "student's" problem when several different population variances
are involved. Biometrika 34(1):28-35.
268