Raport de cercetare - Lorentz JÄNTSCHI

simetrică: ∀e1,e2 | e1 ≠ e2 ⇒ e2 ≠ e1;
o Relaţia `străbun al` şi `descendent al`:
tranzitivă: A `descendent al` B şi B `descendent al` C ⇒ A `descendent al` C;
o Relaţia distanţă euclidiană finită:
reflexivă: ∀x ⇒ d(x,x)=0 < ∞;
simetrică: ∀x,y ⇒ d(x,y) < ∞ ⇒ d(y,x) < ∞;
tranzitivă: ∀x,y,z | d(x,y) < ∞ şi d(y,z) < ∞ ⇒ d(x,z) < ∞;
euclidiană: ∀x,y,z | d(x,y) < ∞ şi d(x,z) < ∞ ⇒ d(y,z) < ∞;
serială: ∀x ∃y=x | d(x,y)=d(x,x)=0 < ∞;
echivalenţă: d(·,·) < ∞ `re`, `sy`, `ts`;
o Relaţia funcţie definită f:X→Y, y=f(x):
serială: ∀x ∃y | y=f(x);
valoare unică: ∀x,y1,y2 | f(x)=y1 şi f(x)=y2 ⇒ y1≡y2;
injectivă ⇔ ∀x,y | x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y);
surjectivă ⇔ ∀y ∃x | y=f(x);
bijectivă ⇔ injectivă şi surjectivă;
÷ Funcţie de numărare: o funcţie bijectivă definită pe o mulţime cu valori într-o submulţime a
numerelor naturale;
o Consecinţă: funcţia de numărare induce în codomeniu o relaţie de ordine totală;
÷ Mulţime infinită: o mulţime pe care se poate defini o funcţie de numărare şi orice funcţie de
numărare induce o relaţie de ordine totală;
÷ Mulţime finită: o mulţime pe se poate defini o funcţie de numărare, dar nu există nici o funcţie
de numărare care induce relaţie de ordine totală;
÷ Mulţime de puterea continuului: o mulţime pe care nu se poate defini o funcţie de numărare;
o Consecinţă: orice mulţime de puterea continuului (pe care nu se poate defini o funcţie de
numărare) are acelaşi număr de elemente cu mulţimea funcţiilor {f: ℕ → {0,1}}, adică
2 |ℕ| ; demonstraţia constă în construcţia unei funcţii bijective între mulţimea funcţiilor
{f:ℕ→{0,1}} şi intervalul de numere reale [0,1) folosind exprimarea numerelor din
intervalul [0,1) în baza de numeraţie 2 (r01=0.f1f2...);
÷ Şir: o mulţime pe care s-a definit o funcţie de numărare;
÷ Şir parţial ordonat: şir în care elementele se află în relaţie de ordine parţială;
÷ Şir total ordonat: şir în care elementele se află în relaţie de ordine totală;
Noţiuni de bază
Un graf G = G(V,E) este o pereche de două mulţimi, V - mulţime finită nevidă ale cărei elemente se
numesc vârfuri (v∈V) şi E - mulţime de perechi de vârfuri (e∈E), care implementează o (endo-
)relaţie binară pe mulţimea V. Două vârfuri vi,vj∈V se numesc adiacente dacă (vi,vj)∈E. Două
perechi de vârfuri (vi1,vj1) şi (vi2,vj2) se numesc adiacente dacă au un vârf comun (i1 = i2 sau i1 = j2
sau j1 = i1 sau j1 = j2).
Următoarele remarci caracterizează grafurile chimice:
÷ În general relaţia definită de E este ireflexivă (pentru orice v∈V, (v,v)∉E);
÷ Dacă relaţia definită de E este simetrică (dacă (v1,v2)∈E atunci (v2,v1)∈E) atunci elementele lui
E se numesc muchii, altfel se numesc arce;
÷ Atunci când se face referinţă la un anume graf G, se notează V = V(G), E = E(G), |V| = N(G), şi
|E| = Q(G); mărimile N(G) şi Q(G) permit transformarea grafului G prin izomorfisme de
numerotare în grafuri (relaţii bijective sau corespondenţe 1 la 1) ale căror vârfuri sunt din
mulţimea {1..N}; într-un astfel de izomorfism, vârfului vi∈V îi poate fi asociat numărul
i∈{1..N} iar muchiei (vi,vj)∈E perechea de numere (i,j)∈{1..N}×{1..N};
÷ Grafului G=(V,E) îi poate fi asociată o pereche de mulţimi de ponderi WG=(WV,WE), în care
fiecărui element v∈V îi corespunde un element wv∈WV (wv numit caracteristica vârfului v) şi
în care fiecărui element e∈E îi corespunde un element we∈WE (we numit caracteristica
80