Curs Mecanica

INTRODUCERE ÎN MECANICA CLASICĂ: 

TEORIE S¸I APLICAT¸ II 

Stan CHIRIT¸ Ă

Cuprins 

1 Cinematica 1 

1.1 Cinematica punctului material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.1 Spat¸iu ¸si timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.1.2 Mi¸scarea unui punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.1.3 Viteză ¸si accelerat¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.1.4 Mi¸scări plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

1.1.5 Viteza areolară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

1.1.6 Mi¸scări centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

1.1.7 Mi¸scări uniform variate ¸si periodice . . . . . . . . . . . . . 21 

1.1.8 Mi¸scări circulare ¸si uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

1.1.9 Mi¸scări armonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

1.1.10 Mi¸scări elicoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

1.2 Cinematica sistemelor materiale ¸si corpurilor rigide . . . . . . . . 30 

1.2.1 Legături ¸si sisteme olonome . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

1.2.2 Cinematica sistemelor rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

1.2.3 Mi¸scări particulare ale rigidului . . . . . . . . . . . . . . . 41 

1.2.4 Unghiurile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

1.2.5 Starea de mi¸scare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

1.2.6 Formula lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 

1.2.7 Teorema lui Mozzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 

1.2.8 Aplicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

1.2.9 Cinematica mi¸scărilor relative . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

1.2.10 Mi¸scări de transport speciale . . . . . . . . . . . . . . . . 64 

1.2.11 Mi¸scări relative pentru corpurile rigide . . . . . . . . . . . 65 

1.2.12 Aplicat¸ii ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 

1.2.13 Mi¸scări rigide plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

1.2.14 Traiectorii în coordonate polare . . . . . . . . . . . . . . . 74 

1.2.15 Accelerat¸ia unei mi¸scări rigide plane . . . . . . . . . . . . 79 

1.2.16 Mi¸scarea unui corp rigid cu un punct fix . . . . . . . . . . 80 

Bibliografie 82 

Index 86 

iii

iv CUPRINS

Capitolul 1 

Cinematica 

1.1 Cinematica punctului material 

1.1.1 Spat¸iu ¸si timp 

Cinematica studiază mi¸scarea corpurilor dintr-un punct de vedere pur descriptiv. 

Astfel, mi¸scarea este reprezentată ¸si studiată folosind mijloace matematice 

adecvate pornind de la legile fizice, care pun în legătură mi¸scarea cu cauzele 

(fort¸ele) care o determină. 

Fiecare fenomen de mi¸scare are loc într-un mediu spat¸io–temporal. Prin 

urmare, prima întrebare care urmează a fi discutată este descrierea conceptelor 

de spat¸iu ¸si timp. Este cunoscut faptul că acestea sunt not¸iuni primare, adică, 

ele nu sunt deduse din alte cantităt¸i, dar nu acesta este motivul pentru care nu 

este posibil să se obt¸ină o reprezentare matematică precisă a lor. Presupunem 

că spatiul ¸si timpul sunt continue, în sensul că este semnificativ de spus că un 

eveniment are loc într-un un anumit punct din spatiu ¸si la un anumit moment de 

timp ¸si că există standarde universale de lungime ¸si timp; cu alte cuvinte, observatori 

din locuri diferite la momente diferite de timp pot compara măsuratorile 

lor. 

Presupunem în continuare că există o scală universală pentru timp, ceea ce 

înseamnă că doi observatori care ¸si-au sincronizat ceasurile lor, vor fi întotdeauna 

de acord cu privire la timpul de producere a oricărui eveniment, în plus, noi 

presupunem că geometria spatiului este euclidiană ¸si faptul că, în principiu, nu 

există nicio limită a preciziei cu care putem masura pozit¸iile ¸si momentele. 

Astfel, în acest cadrul al mecanicii clasice, spat¸iu înconjurător este descris 

matematic ca un spat¸iu afin euclidian tridimensional ( 1 ). Aceasta înseamna un 

spat¸iu metric particular E, ale cărui elemente P, Q, . . . sunt numite puncte ¸si 

pentru care distant¸a are unele proprietăt¸i particulare ( 2 ). 

1 Această alegere, care, în contextul actual poate părea a fi evidentă, este de o mare 

important¸ă pentru dezvoltarea teoriei, a¸sa cum este strict legată de pricipiile mecanicii clasice. 

De fapt, diferite reprezentări ale conceptului de spat¸iu pot duce la descrieri diferite. 

2 

1

2 CAPITOLUL 1. CINEMATICA 

Asociem E cu spat¸iul vectorial tridimensional V , ale cărui elemente u, v, . . . 

sunt numite vectori. Fiecare vector u poate poate fi individualizat ca diferenta 

a două puncte ale spat¸iului E, adică 

u = P − Q. 

Pe V , considerăm not¸iunile obi¸snuite de produs scalar ¸si produs vectorial, 

care vor fi notate · ¸si respectiv × . 

În cadrul mecanicii clasice, not¸iunea de timp este definită ca un concept absolut, 

adică, derularea sa este independentă de obiectele ¸si entităt¸ile exterioare. 

Acest fapt ne permite să dăm o reprezentare relativ simplă a acestei not¸iuni. 

De fapt, folosind omogenitatea timpului (adică, faptul că momente privilegiate 

de timp nu există), este posibil să-l reprezintăm prin intermediul unui spat¸iu 

afin euclidian unudimensional R, ale cărui elemente sunt momente. Să notăm 

că această abordare a conceptului de timp nu este compatibilă cu principiile 

mecanicii relativiste, deoarece, în acest caz, durata unui fenomen depinde de 

cadrul de referint¸ă. 

În cele din urmă, să introducem o scală pentru a masura distant¸ele ¸si intervalele 

de timp folosind din nou proprietatea de omogenitate a spat¸iului ¸si timpului, 

sau, chiar mai bine spus, structura lor ca spat¸ii afine euclidiene. De fapt, 

este posibil, pe de o parte, să introducem scala pentru măsurarea distant¸elor 

prin intermediul unui e¸santion considerat a fi o unitate de lungime, ¸si, pe de 

alta parte, să folosim fenomene periodice pentru a reproduce unitatea de masurare 

a timpului ¸si, în consecint¸ă, pentru a defini ceasul. Comunitatea ¸stiintifica 

folose¸ste ca etalon de masură pentru lungime, care este, de lungimea un bar 

fabricat dintr-un aliaj de platina si iridiu păstrat la Bureau International des 

Poids et Mesures de Sèvres care ar trebui sa corespundă la 10 −7 din distanta de 

la Ecuator la Polul Nord masurată de-a lungul meridianul care trece prin Paris. 

Cel de-al doilea etalon a fost ales pentru o unitate de masură a timpului ¸si a 

fost init¸ial definit ca 24 −1 × 60 −2 dintr-o zi solare. 

Ar trebui să fie clar că reprezentarea conceptelor de spat¸iu ¸si timp prin 

intermediul unor modele matematice este o fază foarte delicată în construct¸ia 

Definit¸ie 1.1.1 Un spat¸iu metric E este numit spat¸iu euclidian afin tridimensional dacă 

metrica sa d : E × E → R + este astfel încât mult¸imea H a izometriilor, definită astfel 

H = {α : E → E , inversabilă; d(P, Q) = d[α(P ), α(Q)], pentru orice P, Q ∈ E} , 

are următoarele proprietăt¸i: 

1. H este grup în raport cu legea de compunere; 

2. H cont¸ine un subgrup V , numit grupul translat¸iilor, care este abelian în raport cu legea 

de compunere; 

3. există operat¸ia de înmult¸ire cu scalari λ : R×V → V care face din V un spat¸iu vectorial 

tridimensional, cu operat¸ia de adunare (+) ca lege de compozit¸ie; 

4. există produsul scalar pe V, notat prin “punct” (·), astfel ca, pentru orice P, Q ∈ E ¸si 

pentru orice u ∈ V astfel ca u(P ) =Q, avem 

(d(P, Q)) 2 = u · u.

1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 3 

principiilor mecanicii clasice. De fapt, diferite reprezentări ar putea conduce 

fie la complicat¸ii formale ale teoriei sau unele contradict¸ii logice care duc la 

dezvoltari complet diferite ale acesteia. De asemenea, ar trebui sa fie clar faptul 

că astfel de modele matematice sunt doar reprezentări ideale ale lumii fizice ¸si 

acestea ar trebui să fie considerate a fi în bună corespondent¸ă cu realitatea numai 

pentru studiul unor fenomene ¸si într-o aproximare adecvată. 

În particular, ele 

sunt adecvate pentru cazul în care vitezele sunt “mici”, fat¸ă de viteza luminii ¸si 

distant¸ele sunt “mari” cu privire la distante atomice. 

Pentru a specifica pozit¸iile ¸si momentele, fiecare observator poate alege o 

origine pe scala temporală, o origine în spat¸iu ¸si un set de trei axe de coordonate 

carteziene. Ne referim la toate acestea impreună spunând că s-a ales un cadru 

de referint¸ă. 

Pozit¸ia ¸si timpul fiecărui eveniment pot fi specificate fat¸ă de acest sistem 

cartezian de coordonate ¸si timp. Deoarece spat¸iul euclidian E este tridimensional, 

este posibil să fixăm un punct O ¸si să coniderăm trei direct¸ii mutual 

ortogonale x1, x2, x3 pornind din O. Asociem aceste direct¸ii cu trei vectori unitari 

i1, i2, i3 care formează un triplet drept, adică, direct¸iile lor coincid cu cele 

ale degetul mare, arătătorului ¸si degetului mijlociu de la mâna dreapta. Acest 

triplet centrat în O define¸ste un sistem de referint¸ă ( 3 ) 

Prin urmare, este necesar să introducem pentru început conceptul de sistem 

material B. De fapt, acesta este definit ca o mult¸ime constituită dintr-un număr 

finit (sau infinit) de elementeX1, X2, X3, . . . , numite puncte materiale, înzestrat 

cu o familie P de aplicat¸ii injective ¸si netede ˜ P : B → E. O aplicat¸ie ˜ P este 

numită localizare a corpului B ¸si determină configurat¸ia specifică lui B în spat¸iul 

E. 

Definit¸ie 1.1.2 Un sistem material B este numit corp rigid dacă, pentru orice 

pereche de localizări ˜ P1, ˜ P2 ∈ P , avem 

 

d ˜P1 (X1) , ˜ 

P1 (X2) = d ˜P2 (X1) , ˜ 

P2 (X2) 

for all X1, X2 ∈ B. (1.1) 

Punctul ˜ P (X) poate fi acum identificat cu vectorul x = ( ˜ P (X) − O). 

Cu alte cuvinte, un sistem de material este un corp rigid, dacă toate posibilele 

configurat¸ii păstrează distant¸ele dintre punctele de material cu trecerea 

timpului. 

În mod natural, în cadrul mecanicii clasice, este presupus că astfel 

de sisteme rigide material există. Prin utilizarea acestei ipoteze fundamentale, 

este posibil să considerăm un sistem referint¸ă cartezian invariant cu trecerea 

timpului, ca ¸si cum ar fi fixat într-un corp rigid.) în spat¸iu (Figure 1.1). Astfel, 

fiecare vector x = P − O poate fi reprezentat în următoarea formă: 

x = x1i1 + x2i2 + x3i3, 

3 Cu scopul de a da definit¸ia corectă a “sistemului de referinta”, să ne reamintim faptul că 

notiunea de mi¸scare este un concept relativ care implică prezent¸a altor obiecte sau corpuri 

capabile a fi observate, astfel încât este posibil să ne referim la ea ca miscare fat¸ă de aceste 

obiecte.


x 1 

i 3 

O 

i 1 

x 2 

x 3 

i 2 

P 

x 3 

Figura 1.1: 

x 1 

unde x1, x2, x3 sunt numite coordonate ale lui x în raport cu cele trei axe. 

Ele sunt obt¸inute ca proiect¸ii ale lui x pe axele i1, i2, i3, adică, x1 = x · i1, 

x2 = x · i2, x3 = x · i3. Un sistem de referint¸ă există în afara not¸iunii de timp 

¸si, în acest moment, are un sens pur matematic. Cu alte cuvinte, un reper 

cartezian ortogonal nu poate păstra propriile caracteristici cu trecerea timpului. 

Definit¸ie 1.1.3 Numim cadru de referintă, un set de trei axe de coordonate 

(sistemul de referinta), fixat într-un corp rigid împreună cu un sistem de măsurare 

a timpului (ceasul). 

Este clar că, în scopul de a introduce not¸iunea de cadru de referint¸ă, este 

necesar să presupunem existent¸a unui corp rigid. Mai mult, sistemul de referint¸ă 

fix într-un corp rigid va fi uneori confundat cu tripletul ortogonal (O, x1, x2, x3). 

1.1.2 Mi¸scarea unui punct 

În prima parte a cinematicii, studiem mi¸scarea unui punct material, aceasta 

înseamnă, mi¸scarea unui sistem de material format dintr-un unic punct P . Un 

astfel de sistem de material reprezintă foarte frecvent un bun model pentru 

studiul corpurilor ale căror dimensiuni sunt suficient de mici pentru a permite 

aceasta reprezentare; de asemenea, poate reprezenta, un anumit punct al sistemului 

material. 

Mi¸scarea unui punct P este definită complet de aplicat¸ia 

x 2 

ˆP : I → E, (1.2)


unde I ⊂ R este intervalul de timp în care este definită mi¸scarea, ¸si E este 

spat¸iul euclidian care poate fi asociat cu un cadru de referint¸ă sau cu un triplet 

rigid. Mi¸scarea va fi notată cu simbolul 

P = ˆ P (t), 

sau prin funct¸ia vectorială x(t) definită de 

x (t) = ˆ P (t) − O, (1.3) 

sau prin intermediul funct¸iilor componente ale ecuat¸iilor vectoriale (1.3) 

x1 = ˆx1 (t) , x2 = ˆx2 (t) , x3 = ˆx3 (t) . (1.4) 

Ulterior, funct¸iile care definesc miscarea sunt presupuse a fi cel put¸in de 

clasă C 2 . Imaginea intervalului I în E define¸ste traiectoria punctului P relativ 

la mi¸scarea P (t). Putem descrie această traiectorie intrinsec, independent de 

variabila temporală. Fie un punct fix O1 ¸si o direct¸ie pozitivă pe traiectorie ¸si 

să indicăm prin s abscisa curbilinie a lui P , care reprezintă distant¸a cu semn 

de la P la O1 măsurată de-a lungul traiectoriei (a se vedea Figura 1.2), Atunci, 

traiectoria este dată de funct¸ia 

P = ˆ P (s). (1.5) 

Mai mult, în mi¸scare, abscisa curbilinie s este o funct¸ie de timp t, exprimată 

printr-o funct¸ie s = ˆs(t), pe care o numim ecuat¸ie orară a mi¸scării lui P . 

Prin urmare, mi¸scarea punctului P poate fi descrisă de către sistemul 

P = ˆ P (s), s = ˆs(t), (1.6) 

unde prima funct¸ie define¸ste traiectoria, în timp ce legea temporală asociată 

punctului P oferă pozit¸ia instantanee a punctului de-a lungul traiectoriei. 

Traiectoria punctului P cu privire la cadrul de referint¸ă ales poate fi descris 

prin funct¸iile de ˆx1(s), ˆx2(s), ˆx3(s) definite ca proiect¸ii ale relat¸iei vectoriale 

(1.5), adică 

x1 = ˆx1 (s) , x2 = ˆx2 (s) , x3 = ˆx3 (s) . (1.7) 

Exercit¸iu 1.1.1 Mi¸scarea unui punct este dată de x1 = R cos √ t, x2 = R sin √ t, 

x3 = R √ 3t, t ∈ [0, π 2 ], R > 0. Să se determine traiectoria ¸si ecuat¸ia orară a 

acestei mi¸scări. 

 

Solut¸ie. Deoarece ds = |dx| = (dx1) 2 + (dx2) 2 + (dx3) 2 , deducem că, 

pentru mi¸scarea noastră, 

t t 

R 

s = ds(z) = √ dz = 2R 

z √ t, 

0 

¸si deci ecuat¸ia orară este s = 2R √ t. Substituind √ t = s 

0 

2R 

în ecuat¸iile de mi¸scare, 

obt¸inem următoarea expresie a traiectoriei: x1 = R cos s 

2R , x2 = R sin s 

2R , 

x3 = s√3 2 , s ∈ [0, 2πR].


x 1 

O 

x 3 

O 1 

s 

Figura 1.2: 

P 

Exercit¸iu 1.1.2 Presupunem că traiectoria unui punct P este cercul de intersect¸ie 

dintre sfera x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = R 2 , R > 0, cu planul x3 = R cos θ0, θ0 fixat 

în (0, π). Să se determine mi¸scarea punctului P având ecuat¸ia orară s = t, 

t ∈ [0, √ 2πR sin θ0]. 

Solut¸ie. Traiectoria este descrisă de 

x1 = R sin θ0 cos ϕ, x2 = R sin θ0 sin ϕ, x3 = R cos θ0, ϕ ∈ [0, 2π]. 

Deoarece s = (R sin θ0) ϕ ¸si ecuat¸ia orară este s = t, rezultă că ϕ = 

t ∈ [0, √ 2πR sin θ0]. Dacă alegem a = R sin θ0, atunci mi¸scarea este dată de 

x1 = a cos t 

a , x2 = a sin t 

a , x3 = R cos θ0, t ∈ [0, √ 2πa]. 

1.1.3 Viteză ¸si accelerat¸ie 

x 2 

t 

R sin θ0 , 

Considerăm un punct material a cărui mi¸scare este descrisă de sistemul (1.6). 

Presupunând traiectoria P = ˆ P (s) fixată, mi¸scarea este definită simplu de 

ecuat¸ia orară s = ˆs(t). 

Definit¸ie 1.1.4 Numim viteză a punctului P de-a lungul traiectoriei ˆ P (s) 

derivata lui ˆs în raport cu timpul, ¸si o notăm cu ( 4 ) prin 

v(t) def 

= dˆs(t) 

. (1.8) 

dt 

4 Pentru a evita confuziile, vom nota întotdeauna derivata în raport cu timpul printr-un 

punct plasat deasupra funct¸iei considerate, adică, dˆs/dt = ˙s, ¸si nu vom face distinct¸ie dintre 

punctul P ¸si funct¸ia corespunzătoare ˆ P .


Dacă ˙s > 0, atunci mi¸scarea este numită directă, în timp ce pentru ˙s < 0, 

mi¸scarea este numită retrogradă; momentele la care ˙s = 0 sunt numite momente 

de stat¸ionare. În final, dacă ˆs este o funct¸ie liniară în timp, adică, 

atunci mi¸scarea este numită uniformă. 

ˆs(t) = vt + s0, 

(1.9) 

În general, atunci când vorbim despre viteza unui punct, întotdeauna înt¸elegem 

o cantitate vectorială. Într-adevar, presupunând că am fixat cadrul de referint¸ă 

¸si că mi¸scarea este descrisă în raport cu acest cadru de ecuat¸ia de mi¸scare 

P = ˆ P (t), definim vectorul viteză astfel: 

Definit¸ie 1.1.5 Vectorul 

v(t) def 

= d ˆ P (t) d 

 

= ˆP (t) − O 

dt dt 

(1.10) 

este numit viteza punctului P fat¸ă de cadrul de referint¸ă considerat, reprezentat 

de sistemul de referint¸ă (O, x1, x2, x3). 

Mai mult, dacă i1, i2, i3 sunt vectorii unitari ortogonali ai sistemului (O, x1, x2, x3), 

atunci, folosind relat¸ia ˆ P − O = ˆx1i1 + ˆx2i2 + ˆx3i3 = x, obt¸inem 

v(t) = ˙x1(t)i1 + ˙x2(t)i2 + ˙x3(t)i3 = d 

x(t), (1.11) 

dt 

unde ˙x1(t), ˙x2(t), ˙x3(t) sunt derivatele funt¸iilor ˆx1, ˆx2, ˆx3 în raport cu timpul ¸si 

reprezintă componentele vectorului v de-a lungul axelor x1, x2, x3. 

Din definit¸ia de mai sus, folosind expresiile (1.6) pentru mi¸scarea punctului 

P , adică 

P = ˆ P (ˆs(t)), (1.12) 

rezultă că 

v(t) = d ˆ P 

ds (s)dˆs . (1.13) 

dt 

Acum, considerăm următoarea cantitate: 

Rata de cre¸stere ˆ P (s+h)− ˆ P (s) 

h 

d ˆ P 

(s) = lim 

ds h→0 

ˆP (s + h) − ˆ P (s) 

. (1.14) 

h 

define¸ste un vector a cărui direct¸ie este de-a lungul 

coardei care une¸ste ˆ P (s) cu ˆ P (s + h) ¸si direct¸ia coincide cu cea de cre¸stere a 

arcelor. Când h se apropie de zero, această rat¸ie tinde spre un vector a cărui 

direct¸ie este este paralelă tangenta la curbă în punctul P (s) (Figura 1.3). 

Considerăm acum mărimea dată de expresia (1.14) 

 

 

d 

 

 

ˆ P 

ds (s) 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

lim 

ˆP (s + h) − 

h→0 

ˆ 

P (s) 

 

 

 

h .


x 1 

O 

x 3 

O 1 

Rat¸ia | ˆ P (s+h)− ˆ P (s)| 

|h| 

s 

Figura 1.3: 

t 

P(s) 

h 

P(s + h) 

x 2 

nu este nimic altceva decât raportul dintre lungimea coardei 

ce une¸ste punctele ˆ P (s) ¸si ˆ P (s+h), ¸si arcul corespunzător. Este cunoscut faptul 

că acest raport tinde spre unitate atunci când lungimea arcului se apropie de 

zero. 

Astfel, putem concluziona că 

d ˆ P 

(s) = t(s), (1.15) 

ds 

unde t este versorul tangentei la traiectoria punctului ˆ P (s) ¸si a cărui direct¸ie 

coincide cu direct¸ia de cre¸stere a arcului. Prin urmare, din (1.13), obt¸inem 

v(t) = ˙st. (1.16) 

Rezultă din argumentele de mai sus că viteza este întotdeauna îndreptată dea 

lungul tangentei la traiectoria punctului considerat. În particular, observăm 

că mărimea vitezei v, pe care o notăm cu v sau cu |v|, este definită de 

 

v = | ˙s| = ˙x 2 1 + ˙x2 2 + ˙x2 3 . 

Dacă viteza punctului P este constantă pentru un interval de timp, mi¸scarea 

este numită rectilinie ¸si uniformă în acest interval. După cum se ¸stie, expresia 

(1.10) poate fi scrisă în forma echivalentă 

ˆP (t + ∆t) − ˆ P (t) 

= v(t) + ε(∆t), (1.17) 

∆t 

unde ε este un vector, astfel încât lim∆t→0 ε(∆t) = 0. În consecint¸ă, din (1.17), 

obt¸inem 

∆P def 

= ˆ P (t + ∆t) − ˆ P (t) = v(t)∆t + ε(∆t)∆t.


Vectorul ∆P reprezintă deplasarea punctului P în intervalul de timp ∆t. Dacă 

∆t este “suficient de mic”, v∆t dă o bună aproximare a deplasării, adică 

∆P v∆t. 

Luând în considerare această observat¸ie, introducem vectorul dP def 

= vdt pe 

care îl numim deplasare elementară. În general, acesta nu corespunde cu deplasarea 

reală, dar el reprezintă o bună aproximare pentru ea, sub presupunerea 

că valorile lui dt sunt “mici”. 

Definit¸ie 1.1.6 Numim vectorul 

a(t) def 

= dv 

(t) (1.18) 

dt 

accelerat¸ie a punctului P fat¸ă de cadru de referint¸ă ales. 

sau 

Folosind formula vitezei, este posibil să arătăm că 

a(t) = d2Pˆ (t), 

dt2 a(t) = ¨x1(t)i1 + ¨x2(t)i2 + ¨x3(t)i3 = d2x (t), 

dt2 unde ¨x1 = d2 ˆx1 

dt2 , ¨x2 = d2 ˆx2 

dt2 , ¨x3 = d2 ˆx3 

dt2 pot fi considerate ca fiind accelerat¸iile 

proiect¸iilor punctului P de-a lungul axelor x1, x2, x3. 

Folosind formula (1.16) a vitezei, obt¸inem următoarea expresie importantă 

pentru accelerat¸ia unui punct: 

a = d 

( ˙st) = ¨st + ˙sdt(s(t)) = ¨st + ˙s 

dt dt 

Este necesar acum să considerăm limita 

dt 

= lim 

ds h→0 

2 dt 

. (1.19) 

ds 

t(s + h) − t(s) 

. (1.20) 

h 

Considerăm planul π definit de triunghiul (P (s), A, B) (a se vedea Figura 

1.4). Dacă curba este într-un plan, atunci planul π va coincide cu planul care 

cont¸ine curba. Dacă curba nu este într-un plan, atunci, când h se apropie de 

zero, π tinde spre un plan care trece prin P (s) ¸si cont¸ine vectorul t(s). Numim 

acest plan plan osculator. Deoarece rat¸ia t(s+h)−t(s) 

h are aceea¸si direct¸ie cu 

B − A, limita acestei rat¸ii, adică dt/ds, trebuie să apart¸ină planului osculator. 

Mai mult, deoarece mărimea vectorului t(s) este constantă, concluzionăm că 

dt/ds trebuie să fie ortogonal pe t, ¸si, în consecint¸ă, ortogonal curbei ( 5 ); în 

final, el trebuie să fie orientat spre centrul curbei. Mai mult, 

 

 

 

dt 

 

|t(s + h) − t(s)| |t(s + h) − t(s)| ∆α 

ds 

= lim 

= lim 

, (1.21) 

h→0 |h| 

h→0 ∆α |h| 

5 dt 

dt 

Reamintim faptul că, dacă t· t = 1, atunci 2 · t = 0, deci este ortogonal pe t. 

ds ds


P(s) 

t(s) 

A 

∆α 

B 

t(s + h) 

∆α 

Figura 1.4: 

P(s + h) 

t(s + h) 

unde ∆α este unghiul dintre vectorii t(s) ¸si t(s+h), măsurat în radiani. Alegem 

unde 1 

ρ 

∆α 1 

lim = 

h→0 |h| ρ , 

este numită curbura, iar ρ este numită raza de curbură. În plus, 

|t(s + h) − t(s)| 

lim 

= 1, 

h→0 ∆α 

deoarece considerăm limita dintre lungimea arcului ¸si coarda de sprijin a acestuia. 

Cercul de rază ρ, situat în planul osculator, tangent la traiectoria lui P (s) 

¸si ales din două cercuri posibile tangente la traiectoria lui P (s) ca cel situat pe 

partea concavă a traiectoriei, este numit de obicei cerc osculator. Mai mult, 

prin n(s) notăm vectorul unitar normal principal al traiectoriei lui P (s), adică, 

vectorul unitar care este ortogonal la curbă, se afla în planul osculator ¸si este 

îndreptat spre centru curbei. Atunci, din relat¸iile (1.20) ¸si (1.21), obt¸inem ( 6 ) 

dt 

ds 

1 

= n. (1.22) 

ρ 

Acum, putem oferi o reprezentare importantă pentru vectorul accelerat¸ie. Astfel, 

din relat¸iile (1.19) ¸si (1.22), obt¸inem 

a = ¨st + ˙s2 

n. (1.23) 

ρ 

Este convenabil să considerăm de asemenea – împreuna cu cei doi vectori unitari 

t ¸si n – vectorul unitar b, numit binormală, care este ortogonal pe t ¸si n astfel 

6 Aceasta ecuat¸ie este numită prima formulă a lui Frènet. Pentru detalii, a se vedea 

sect¸iunea A.8 din Appendix A.


încât t, n, ¸si b formează un reper drept. Acest sistem de vectori este numit 

triplet intrisec de vectori pentru traiectoria punctului P. 

Folosind expresia (1.23), se poate observa că, spre deosebire de viteza, în 

afara de componenta at = ¨st orientată de-a lungul tangentei ¸si numită accelerat¸ie 

tangent¸ială, accelerat¸ia are ¸si altă componentă an = ˙s2 

ρ n orientată de-a lungul 

normalei, numită accelerat¸ie normală sau centripetă. Dacă accelerat¸ia tangent¸ială 

se anulează, atunci este necesar ca 

¨s = 0, 

deci ˙s = constant, ¸si mi¸scarea este uniformă. Dacă accelerat¸ia centripetă se 

anulează în intervaul de timp, adică ˙s2 

1 

ρ n = 0, ¸si ˙s(t) = 0, atunci curbura ρ = 0, 

¸si deci mi¸scarea este rectilinie. În sfâr¸sit, dacă a = at + an = 0 pentru un 

interval de timp, atunci mi¸scarea este rectilinie ¸si uniformă. 

Definit¸ie 1.1.7 Mi¸scarea unui punct este numită accelerată la un moment dat 

dacă mărimea vitezei la acel moment este o funct¸ie de t crescătoare; mi¸scarea 

este numită încetinită dacă mărimea vitezei la acel moment este o funct¸ie de t 

descrescătoare;. 

Deoarece 

d 

dt ˙s2 = 2¨s ˙s, (1.24) 

rezultă că mi¸scarea poate fi accelerată sau încetinită în funct¸ie de cum ˙s ¸si ¨s, 

ambele diferite de zero, au sau nu au acela¸si semn. 

d 

În primul caz, avem dt 

˙s 2 > 0, ¸si deci ˙s 2 este o funct¸ie crescătoare în timp, în timp ce, în cel de-al 

doilea caz, d 

dt ˙s2 < 0 ¸si atunci ˙s 2 este o funct¸ie de t descrescătoare. 

Exercit¸iu 1.1.3 Punctul P se mi¸scă pe curba x1 = 2e 2t , x2 = 3 sin 2t, x3 = 

2 cos 2t, t ∈ R. Să se determine vectorul viteză ¸si vectorul accelerat¸ie la momentul 

t. Calculat¸i mărimile vitezei ¸si accelerat¸iei la momentul t = 0. 

Solut¸ie. Vectorul deplasare este x = 2e 2t i1 + 3 sin 2ti2 + 2 cos 2ti3 ¸si deci 

deducem că v(t) = ˙x(t) = 4e 2t i1 + 6 cos 2ti2 − 4 sin 2ti3 ¸si a(t) = ¨x(t) = 8e 2t i1 − 

12 sin 2ti2 − 8 cos 2ti3. Pentru t = 0, avem v(0) = 4i1 + 6i2 ¸si a(0) = 8i1 − 8i3 

¸si prin urmare v = √ 16 + 36 = 2 √ 13 ¸si a = √ 64 + 64 = 8 √ 2. 

Exercit¸iu 1.1.4 Un punct P porne¸ste din pozit¸ia P0(−3, 2, 1) la timpul t = 0 

cu viteza init¸ialăv0 = −i1 + 2i2 + 3i3 ¸si se deplasează cu accelerat¸ia a = e −t i1 + 

4 cos 2ti2 + 8 sin 2ti3. Să se găsească vectorul viteză a punctului ¸si ecuat¸iile de 

mi¸scare. 

Solut¸ie. Din relat¸ia ˙v(t) = a(t), prin integrare în raport cu timpul t, 

deducem că v(t) = −e −t i1 + 2 sin 2ti2 − 4 cos 2ti3 + c1, unde c1 este un vector 

constant arbitrar. Deoarece v(0) = v0, obt¸inem −i1−4i3+c1 = −i1+2i2+3i3 ¸si 

deci avem c1=2i2+7i3 ¸si viteza este v(t) = −e −t i1+2(sin 2t+1)i2+(−4 cos 2t+ 

7)i3.


Din relat¸ia ˙x(t) = v(t), obt¸inem x(t) = e −t i1 +(− cos 2t+2t)i2 +(−2 sin 2t+ 

7t)i3 + c, unde c este o constantă oarecare. Deoarece x(0) = −3i1 + 2i2 + i3, 

rezultă că i1 − i2 + c = −3i1 + 2i2 + i3 ¸si deci c = −4i1 + 3i2 + i3. Astfel, 

mi¸scarea punctului este descrisă de x(t) = (e −t − 4)i1 + (− cos 2t + 2t + 3)i2 + 

(−2 sin 2t + 7t + 1)i3. 

Exercit¸iu 1.1.5 Mi¸scarea unui punct P este x(t) = ti1 + 1 

2t2i2 + 1 

6t3i3. Să 

se determine accelerat¸ia tangent¸ială ¸si accelerat¸ia normală a punctului la un 

moment t. 

Solut¸ie. Deoarece ˙x = i1 + ti2 + 1 

2 t2 i3 ¸si ¨x = i2 + ti3, rezultă că ds = | ˙x| dt 

¸si deci ˙s = 1 

2 (t2 + 2), ¨s = t. Mai mult, versorul tangentei la curbă este t = 

2i1 + 2ti2 + t2 

i3 ¸si 

1 

t 2 +2 

¸si deci 

dt 

ds 

dt dt 

= 

dt ds = 

= 

2 

(t 2 + 2) 2 [−2ti1 − (t 2 − 2)i2 + 2ti3] dt 

ds = 

4 

(t2 + 2) 3 [−2ti1 − (t 2 − 2)i2 + 2ti3] = 1 

ρ n, 

n = 1 

t2 + 2 [−2ti1 − (t 2 − 2)i2 + 2ti3], 1 

ρ = 

4 

(t2 . 

+ 2) 2 

Deci, putem concluziona că accelerat¸ia tangent¸ială este at = tt ¸si accelerat¸ia 

centripetă este an = n. 

1.1.4 Mi¸scări plane 

Considerăm punctul P care se mi¸scă într-un plan. Este posibil să descriem 

mi¸scarea lui P prin intermediul unui sistem de ecuat¸ii de următoarea formă: 

x1 = ˆx1(t), 

x2 = ˆx2(t), 

unde x1, x2 sunt coordonatele carteziene ale lui P relativ la un sistem de 

referint¸ă din planul de mi¸scare. Atunci, viteza ¸si accelerat¸ia pot fi determinate 

aplicând formulele din sect¸iunea de mai sus. 

Un interesant capitol particular în studiul mi¸scării plane este cel al sistemului 

de coordonate polare (ρ, θ), unde ρ = |P − O| ¸si θ = ∠ (OP, Ox1) sunt numite 

distant¸ă polară ¸si respectiv unghi polar. Mi¸scarea punctului P va fi descrisă în 

coordinate polare de sitemul (Figura 1.5) 

ρ = ˆρ(t), θ = ˆ θ(t). 

Eliminând variabila t din acest ultim sistem, obt¸inem ecuat¸ia polară ρ = ˆρ(θ) 

a traiectoriei punctului P . Deci, dacă O este originea sistemului de referint¸ă ¸si 

r = , atunci, prin derivarea identităt¸ii 

P −O 

|P −O| 

(P − O) = ρr, (1.25)


h 

O 

x 2 

r 

θ 

Figura 1.5: 

P 

obt¸inem 

d(P − O) 

v = = ˙ρr+ρ 

dt 

dr 

. (1.26) 

dt 

Vectorul unitar r depinde de timp prin variabila θ, adică, 

¸si prin urmare, din (1.26), obt¸inem 

x 1 

r(t) = r(θ(t)), (1.27) 

v = ˙ρr+ρ ˙ θ dr 

. (1.28) 

dθ 

Dacă considerăm reperul cartezian (O, x1, x2) cu originea în O, ¸si axa x1 coincizând 

cu axa polară, avem 

Dacă h = − sin θi1 + cos θi2, rezultă din (1.29) că 

r = cos θi1 + sin θi2. (1.29) 

h = dr 

, (1.30) 

dθ 

¸si, în consecint¸ă, |h| = 1 ¸si h · r = 0. Prin urmare, h este un vector unitar 

ortogonal pe r inclus în planul (x1, x2). Pe de altă parte, este u¸sor de observat 

că 

dh 

= −r. 

dθ 

Întorcându-ne la (1.28), obt¸inem 

(1.31) 

v = ˙ρr+ρ ˙ θh. (1.32) 

Observat¸ie 1.1.1 Viteza punctului P , exprimată în coordonate polare, poate 

fi reprezentată ca suma a doi termeni: primul termen, vρ = ˙ρr, este numit 

viteză radială, iar cel de-al doilea termen, vθ = ρ ˙ θh, este numit vectorul viteză


unghiulară (transversală). Deoarece vρ ¸si vθ sunt ortogonali, mărimea vitezei 

este dată de formula 

 

v = ˙ρ 2 + ρ2 ˙ θ2 . 

Prin derivare directă a relat¸iei (1.32), obt¸inem următoarea expresie a accelerat¸iei 

în coordonate polare: 

a = dv 

dt = ¨ρr+ ˙ρ ˙ θ dr 

dθ + ˙ρ ˙ θh + ρ ¨ θh + ρ ˙ θ 

Folosind relat¸iile (1.30) ¸si (1.31) în (1.33), deducem că 

2 dh 

. (1.33) 

dθ 

a = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )r + (ρ ¨ θ + 2 ˙ρ ˙ θ)h. (1.34) 

Observat¸ie 1.1.2 Accelerat¸ia punctului P , exprimată în coordonate polare, 

poate fi reprezentată ca suma a doi termeni: primul termen, aρ = (¨ρ−ρ ˙ θ2 )r, este 

numit accelerat¸ie radială, ¸si cel de-al doilea termen, aθ = (ρ¨ θ+2 ˙ρ ˙ θ)h, este numit 

accelerat¸ie unghiulară (sau transversală). Deoarece ρ¨ θ + 2 ˙ρ ˙ θ = 1 

ρ (ρ2 ¨ θ + 2ρ ˙ρ ˙ θ), 

putem de asemenea exprima aθ ca aθ = 1 d 

ρ dt (ρ2 ˙ θ)h. 

Exercit¸iu 1.1.6 Mi¸scarea unui punct este descrisă de x1 = e t cos t, x2 = 

e t sin t, t ∈ R. Determinat¸i vectorii accelerat¸ie radială¸si transvesală ai punctului. 

Solut¸ie. Trebuie să introducem sistemul de coordonate polare (ρ, θ), astfel 

ca x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ. Luând în considerare ecuat¸ia de mi¸scare, deducem 

că 

 

ρ(t) = x2 1 + x22 = et , θ(t) = arctan x2 

= t. 

Mai mult, avem 

¸si 

x1 

r = cos ti1 + sin ti2, h = − sin ti1 + cos ti2, 

aρ = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )r = 0, aθ = 1 d 

ρ dt 

 

ρ 2 

θ˙ 

h = 2e t h. 

Exercit¸iu 1.1.7 Determinat¸i traiectoria punctului P care se mi¸scă într-un 

plan cu mărimea vitezei constante, ¸si astfel încât mărimea vitezei radiale fat¸ă 

de punctul O este de asemenea constantă. 

Solut¸ie. Introducem coordonatele polare (ρ, θ) în planul considerat. Atunci, 

viteza este dată de formula v = ˙ρr + ρ ˙ θh. Luând în considerare ipotezele 

problemei, obt¸inem 

˙ρ 2 + ρ 2 ˙ θ 2 = c1, ˙ρ = c2, 

unde constantele c1 ¸sic2 îndeplinesc în mod evident c1 > c 2 2. Astfel, avem 

ρ = c2t + ρ0, unde ρ0 = ρ(0) ¸si prin urmare, rezultă din ˙ρ 2 + ρ 2 ˙ θ 2 = c1 că


P 

O 

Figura 1.6: 

x 2 

θ 

P 0 

ρ ˙ θ = k, unde k = ± c1 − c 2 2 este constant. Atunci, avem ˙ θ = k 

c2t+ρ0 

consecint¸ă, dacă θ(0) = 0, deducem că 

θ = k 

c2 

Rezultă din ultima expresie că 

log(c2τ + ρ0)| t 0 = k 

ρ = ρ0 exp( c2 

k θ), 

¸si traiectoria este spirala logaritmică (Figura 1.6). 

c2 

x 1 

log ρ 

. 

ρ0 

¸si în 

2 θ p 

Exercit¸iu 1.1.8 Traiectoria unei mi¸scări este parabola ρ cos 2 = 2 , p > 0. 

Un punct P se mi¸scă pe această parabolă asfel încât v = kρ, unde k este o 

constantă pozitivă. La momentul t = 0 punctul este în vârful parabolei ¸si se 

mi¸scă în sensul în care θ cre¸ste. Determinat¸i ecuat¸iile de mi¸scare ¸si vectorii 

accelerat¸ie radială ¸si transversală. 

Solut¸ie. Avem următoarele condit¸ii init¸iale: 

ρ(0) = p 

, θ(0) = 0, 

2 

¸si, în plus, θ(t) ˙ 2 2 > 0. Din relat¸ia v = kρ, deducem că ˙ρ + ρ θ˙ 2 2 2 = k ρ . În 

continuare vom determina ˙ρ ¸si θ. ˙ Pentru aceasta, derivăm ecuat¸ia parabolei 

pentru a obt¸ine ˙ρ cos θ 

2 − ρ ˙ θ sin θ 

2 = 0. Astfel, din aceste două relat¸ii de mai sus, 

deducem că 

˙ρ = ±kρ sin θ 

2 , θ ˙ 

θ 

= ±k cos 

2 ,


din care, luând în considerare pozitivitatea lui k ¸si a lui ˙ θ(t), obt¸inem 

˙ρ = kρ sin θ 

2 , ˙ θ = k cos θ 

2 . 

Prin integrare, din ecuat¸ia diferent¸ială ˙ θ = k cos θ 

2 , obt¸inem 

 

 

ln 

tan 

θ π 

+ + c = 

4 4 

k 

t, c = constant, 

2 

¸si deci, din condit¸iile init¸iale θ(0) = 0, obi¸ntem c = 0 ¸si prin urmare 

Deoarece 

găsim 

tan θ 

4 

cos θ 

2 

cos θ 

2 = 

kt 

e 2 − 1 

= 

e kt 

2 + 1 

θ 1 − tan2 4 

= 

2 θ 1 + tan 

1 

cosh kt 

2 

Dacă substituim ˙ρ = kρ sin θ 

2 

dρ 

ρ 

kt 

kt 

e 4 − − e 4 

= 

4 

e kt 

kt 

4 + e− 4 

, sin θ 

2 

= tanh kt 

4 . 

θ 2 tan 4 = 

1 + tan 

2 θ 

4 

, sin θ 

2 = 

 

θ kt 

1 − cos2 = tanh 

2 2 . 

în această relat¸ie, obt¸inem 

kt 

p 

= k tanh dt, ρ(0) = 

2 2 . 

Astfel, obt¸inem următoarele ecuat¸ii de mi¸scare: 

Din aceste relat¸ii obt¸inem 

ρ = p 

2 cosh2 kt 

, θ = 2 arccos 

2 

1 

cosh kt 

2 

aρ = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )r = k2p [cosh (kt) − 2] r 

4 

aθ = 1 d 

 

ρ 

ρ dt 

2 

θ˙ 

h = 3k2 

p kt 

sinh h. 

4 2 

Exercit¸iu 1.1.9 Punctul P se află într-o mi¸scare plană în care componenta 

radială a vitezei este direct proport¸ională cu timpul t ¸si componenta transversală 

este constantă. La momentul t = 0 punctul ocupă pozit¸ia P0(1, 0) fat¸ă de un 

sistem de referint¸ă. Să se determine traiectoria unui punct ¸si vectorii accelerat¸ie 

radială ¸si transversală. 

Solut¸ie. Alegem sistemul de coodonate polare (ρ, θ) cu polul în originea 

sistemului ¸si axa polară să coincidă cu axa x1. Din ipoteze avem că 

˙ρ = 2c 2 1t, ρ ˙ θ = c2, 

. 

,


O 

Figura 1.7: 

O 1 

P(t) 

P(t + ∆t) 

P(t*) 

unde c1 ¸si c2 sunt constante pozitive prescrise. Notăm că avem următoarele 

condit¸ii init¸iale: ρ(0) = 1, θ(0) = 0. Atunci, prin integrare, obt¸inem ρ = c 2 1t 2 +c, 

c = constant, ¸si deci, din condit¸iile init¸iale ρ(0) = 1, avem ρ = c 2 1t 2 + 1. 

Apoi, avem ˙ θ = c2 

ρ 

= c2 

c 2 1 t2 +1 

¸si deci θ = c2 

c1 arctan (c1t) + c ∗ , c ∗ = constant. 

Din condit¸iile init¸iale θ(0) = 0, obt¸inem c∗ = 0 ¸si deci θ(t) = c2 

arctan (c1t). 

c1 

Eliminând parametrul t din relat¸iile ρ = c2 1t2 +1, θ(t) = c2 

c1 arctan (c1t), deducem 

ecuat¸ia traiectoriei ρ = 1 + tan2 

. 

c1 

c2 θ 

Accelerat¸iile radială ¸si transversală sunt 

1.1.5 Viteza areolară 

aρ = 2c41t 2 + 2c2 1 − c2 2 

c2 1t2 r, aθ = 

+ 1 

2c21c2t c2 1t2 + 1 h. 

Pentru o mi¸scare plană, introducem not¸iunea de viteză areolară. Dacă un punct 

O1 este fixat pe traiectorie, notăm cu A(t) aria măturată de raza vectoare 

(P − O), aceasta este aria regiunii delimitate de vectorii (O1 − O), (P (t) − O) 

¸si arcul O1P (t) al traiectoriei, unde O este originea sistemului de coordonate 

(ρ, θ) (Figura 1.7). 

Definit¸ie 1.1.8 Numim viteză areolară ˙ 

A a punctului P fact¸ă de polul O derivata 

funct¸iei A(t) în raport cu timpul. 

Rezultă din definit¸ia vitezei areolare că 

˙A 

A(t + ∆t) − A(t) 

= lim 

= lim 

∆t→0 ∆t 

∆t→0 

∆A 

. (1.35) 

∆t 

Este u¸sor de demonstrat că aria măturată între momentele t ¸si t + ∆t este dată 

de formula 

∆A = 1 

2 ρ2 (t ∗ )∆θ, (1.36)


unde t ∗ ∈ [t, t + ∆t] ¸si ∆θ = θ(t + ∆t) − θ(t). Cu alte cuvinte, există un moment 

t ∗ astfel ca aria ∆A este egală cu aria sectorului circular cu unghiul la centru 

∆θ ¸si raza ρ(t ∗ ). Astfel, din (1.35) ¸si (1.36), obt¸inem 

˙A(t) = 1 

2 ρ2 (t) ˙ θ(t). (1.37) 

În coordonate carteziene, deoarece x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ, avem 

˙x1 = ˙ρ cos θ − ρ ˙ θ sin θ, ˙x2 = ˙ρ sin θ + ρ ˙ θ cos θ, 

x1 ˙x2 − x2 ˙x1 = ρ 2 ˙ θ cos 2 θ + ρ ˙ρ sin θ cos θ − ρ ˙ρ sin θ cos θ + ρ 2 ˙ θ sin 2 θ 

= ρ 2 ˙ θ, 

¸si deci ecuat¸ia vitezei areolare poate fi scrisă ca 

˙A = 1 

2 (x1 ˙x2 − x2 ˙x1). (1.38) 

Exercit¸iu 1.1.10 Mi¸scarea unui punct P pe suprafat¸a plană (O, x1, x2) este 

dată de ecuat¸iile carteziane 

x1 = C exp(−pt), x2 = C exp(pt), C > 0, p > 0. 

Să se determine traiectoria, viteza areolară fat¸ă de O, ¸si componentele radială 

¸si transversală a vectorului accelerat¸ie. 

Solut¸ie. Eliminând timpul t din ecuat¸iile de mi¸scare, obt¸inem 

x1 · x2 = C 2 . 

Prin urmare, traiectoria este o ramură a unei hiperbolei (Figura 1.8) situată în 

primul cadran al sistemului de coordonate. Mai mult, viteza areolară este dată 

de formula 

˙A = 1 

2 (x1 ˙x2 − x2 ˙x1) 

= 1 2 2 2 

C p exp(−pt) exp(pt) + C p exp(−pt) exp(pt) = C p. 

2 

Deoarece viteza areolară este constantă, componenta transversală a accelerat¸iei 

este aθ = 0, în timp ce componenta radială dă accelerat¸ia totală ¸si deci 

 

aρ = a = ¨x 2 1 + ¨x2 2 = Cp2exp(−2pt) + exp(2pt) = p 2 ρ, 

unde ρ este distant¸a dintre P ¸si O, care este dată de formula 

 

ρ = x2 1 + x22 = Cexp(−2pt) + exp(2pt).


O 

x 2 

Figura 1.8: 

1.1.6 Mi¸scări centrale 

Considerăm o mi¸scare care este nu este neapărat plană. 

Definit¸ie 1.1.9 Mi¸scarea unui punct P este numită centrală dacă accelerat¸ia 

sa este întotdeauna direct¸ionată de-a lungul vectorului P − O, unde O este un 

punct fixat numit centrul mi¸scării. 

Teoremă 1.1.1 Orice mi¸scare centrală cu centrul O este plană ¸si viteza areolară 

fat¸ă de O este constanta, ¸si vice versa. 

Demonstrat¸ie. Din definit¸ia mi¸scării centrale, obt¸inem 

Din ultima egalitate, rezultă că 

¸si deci 

x 1 

a(t) × (P (t) − O) = 0 pentru orice t. 

d 

d(P − O) 

[v × (P − O)] − v × = 

dt dt 

d 

[v × (P − O)] = 0, 

dt 

v × (P − O) = k, (1.39) 

unde k este un vector constant. Presupunem că k = 0, ¸si apoi, din (1.39), 

obt¸inem 

0 = v × (P − O) · (P − O) = k · (P − O). 

Prin urmare, punctul P trebuie că rămână în planul ortogonal la k ¸si care trece 

prin punctul O. Dacă k = 0, atunci 

v × (P − O) = 0 pentru orice t,


deci v ¸si a sunt întotdeauna paralelei, ¸si de asemenea ambii sunt paraleli cu 

(P − O). Ultima implică că an = ˙s2 

1 

ρ = 0 pentru orice t, ¸si deoarece ρ = 0, 

mi¸sarea este rectilinie. 

Prin urmare, mi¸scarea centrala este una plană. Astfel, putem să o reprezentăm 

în coordonare polare cu polul O. Mai mult, vectorul accelerat¸ie este radial, 

deoarece are aceea¸si direct¸ie cu (P − O), ¸si va implica că aθ = 1 

 

d 

ρ dt ρ2 ˙ 

θ = 0. 

Prin urmare, 

ρ 2 θ ˙ = c (1.40) 

implică că viteza areolară a mi¸scării lui P fat¸ă de O este constantă ¸si valoarea 

sa este dată de formula 

˙A = c 

, 

2 

(1.41) 

unde c este numită constanta ariilor. 

Să demonstrăm acum că, dacă viteza areolară fat¸ă de polul O pentru o 

mi¸scare plană este constantă, atunci mi¸scarea este centrală. Într-adevăr, deoarece 

aθ = 0, faptul că viteza areolară este constantă implică că accelerat¸ia a = aρ 

este mereu îndreptată spre O. 

Teoremă 1.1.2 Pentru o mi¸scare centrală având constanta ariilor c, accelerat¸ia 

a poate fi determinată, cunoscând doar traiectoria punctului (ρ = ˆρ (θ)), prin 

intermediul formulei lui Binet 

a = − c2 

ρ2 2 d 

dθ2 

1 

+ 

ρ 

1 

 

r. (1.42) 

ρ 

Demonstrat¸ie. Fat¸ă de un sistem de coordonate polare având originea 

în O, ecuat¸ia traiectoriei este ρ = ˆρ(θ). Dacă mi¸scarea este centrală, viteza 

areolară este constantă ¸si prin urmare avem, ρ 2 ˙ θ = c; unde acceleralt¸ia este 

Pe de altă parte, avem 

¸si deci 

a = aρr = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )r. (1.43) 

˙ρ = dρ 

dθ ˙ θ = c 

ρ2 dρ d 

= −c 

dθ dθ 

¨ρ = −c d2 

dθ 2 

 

1 

˙θ = − 

ρ 

c2 

ρ2 d 2 

dθ 2 

 

1 

, (1.44) 

ρ 

 

1 

. (1.45) 

ρ 

Mai mult, folosind relat¸iile (1.40) ¸si (1.45), din relat¸iile (1.43) deducem formula 

lui Binet 

aρ = − c2 

ρ2 2 d 

dθ2 

1 

+ 

ρ 

1 

 

, 

ρ 

care ne permite să determinăm accelerat¸ia folosind ecuat¸ia traiectoriei ρ = ˆρ(θ) 

¸si presupunând cunoscută constanta ariilor c.


Exercit¸iu 1.1.11 Punctul P descrie o curbă plană astfel încât accelerat¸ia sa 

trece mereu printr-un punct fix O. Demonstrat¸i că 

a = v dv 

dρ , 

unde v = |v| ¸si a este componenta radială a accelerat¸iei. 

Solut¸ie. Mi¸scarea unui punct P este centrală. Folosind sistemul polar de 

coordonate cu polul în O, avem ρ2 ˙ θ = c, unde c este constanta ariilor. Astfel, 

avem aθ = 1 

 

d ρ2 ˙ 

θ h = 0 ¸si a = aρ = (¨ρ − ρ ˙ θ2 )r. Pe de altă parte, avem 

ρ dt 

v 2 = ˙ρ 2 + ρ 2 ˙ θ 2 , 

¸si deci, prin derivare directă în raport cu t, obt¸inem 

Astfel, obt¸inem 

2v dv 

dt = 2 ˙ρ¨ρ + 2ρ ˙ρ ˙ θ 2 + 2ρ 2 

θ˙ θ ¨ = 2 ˙ρ ¨ρ − ρ ˙ θ 2 

+ 2ρ ˙ 

θ ρ¨ θ + 2 ˙ρ ˙ 

θ . 

¸si deci relat¸ia cerută. 

v dv 

dt 

= dρ 

dt a, 

1.1.7 Mi¸scări uniform variate ¸si periodice 

Numim uniformă orice mi¸scare a cărui viteză este constanta în timp; o astfel de 

definit¸ie nu depinde de traiectoria punctului. Prin urmare, notând cu v0 = ˙s(t) 

această valoare constantă, ecuat¸ia orară devine 

s(t) = v0t + s0, (1.46) 

unde cei doi parametri s0 ¸si v0 reprezintă abscisa curbilinie init¸ială ¸si, respectiv, 

viteza punctului P . 

Să considerăm o mi¸scare care nu este în mod necesar rectilinie. 

Definit¸ie 1.1.10 Mi¸scarea unui punct P se nume¸ste uniform variată dacă mărimea 

accelerat¸iei tangent¸iale este constantă, adică, există o constantă a0 astfel ca 

¨s(t) = a0. 

Prin urmare, prin integrarea ultimei relat¸ii de două ori în raport cu timpul 

t, obt¸inem următoarea ecuat¸ie orară pentru mi¸scarea uniform variată: 

s(t) = 1 

2 a0t 2 + v0t + s0, (1.47) 

unde s0 ¸si v0 reprezintă abcisa curbilinie ¸si, respectiv viteza la momentul t = 0. 

Este evident din (1.47) că ecuat¸ia orară pentru mi¸scarea uniform variată este 

reprezentată grafic ca o parabolă care este concavă pentru a0 < 0, ¸si convexă


pentru a0 > 0. Astfel, independent de concavitatea sau convexitatea parabolei, 

mi¸scarea în direct¸ia de cre¸stere a arcului parabolei este numită directă ¸si cea în 

direct¸ia de descre¸stere a arcului parabolei este numită retrogradă. 

Înainte de a considera mi¸scarea circulară ¸si uniformă, explicăm ce întelegem 

prin mi¸scare periodică a punctului P care se mi¸scă pe o traiectorie asociată. 

Definit¸ie 1.1.11 Spunem că mi¸scarea unui punct t P este periodică cu perioda 

T dacă ecuat¸ia orară ˆs(t) define¸ste o funct¸ie periodică de t cu perioada T , adică 

ˆs(t + T ) = ˆs(t). (1.48) 

Observat¸ie 1.1.3 Dacă mi¸scarea este periodică, atunci viteza ¸si accelerat¸ia 

scalară ( 7 ) sunt periodice în t. 

1.1.8 Mi¸scări circulare ¸si uniforme 

Mi¸scarea circulară este o mi¸scarea plană particulară definită astfel: 

Definit¸ie 1.1.12 Mi¸scarea unui punct P este numită circulară dacă traiectoria 

sa este un cerc sau un arc de cerc. În plus, dacă viteza este constantă, atunci 

este numită circular ¸si uniformă. 

Considerăm o mi¸scarea circulară relativ la un cerc de rază R (Figura 1.9). 

Dacă notăm cu s abscisa curbilie astfel încât 0 ≤ s ≤ 2πR, ¸si dacă presupunem 

că s = ˆs(t) este ecuat¸ia orară corespunzătoare, atunci vectorii viteza 

¸si accelerat¸ie sunt date de formulele (1.16) ¸si (1.23 ), adică 

unde R este raza cercului. Deoarece n = − 

ecuat¸ie din (1.49) poate fi rescrisă ca 

v = ˙st, a = ¨st + ˙s2 

n, (1.49) 

R 

P −O 

|P −O| 

P −O = − R , ce-a de a doua 

a = ¨st − ˙s2 

(P − O). (1.50) 

R2 Teoremă 1.1.3 Mi¸scarea circulară uniformă reprezintă un exemplu important 

de mi¸scare periodică. Dacă ˙s = v0, atunci perioada unei astfel de mi¸scări este 

T = 2πR 

. (1.51) 

Mai mult, accelerat¸ia este centripetă ¸si este dată de formula a = −ω 2 (P − O), 

unde ω = v0/R. 

v0 

7 Prin accelerat¸ie scalară, înt¸elegem componenta accelerat¸iei directe de-a lungul tangentei 

la curbă.


O 

x 2 

n 

Figura 1.9: 

r 

Demonstrat¸ie. Avem s(t) = Rθ(t) + s0 ¸si prin urmare obt¸inem 

P 

s 

O 1 

x 1 

v = ˙st = R ˙ θt. (1.52) 

Deoarece ˙s este constantă, rezultă că ˙ θ este constantă ¸si astfel, alegând ˙ θ = ω, 

obt¸inem 

ˆθ(t) = ωt + θ0, (1.53) 

unde θ0 este valoarea unghiului θ la momentul t = 0. Din (1.52) deducem că 

v0 = R ˙ θ = Rω, 

¸si deci ω = v0/R. Urmează din (1.53) că funct¸ia ˆ θ satisface relat¸ia 

ˆθ(t + 2π 

ω ) = ˆ θ(t) + 2π, 

¸si prin urmare mi¸scarea este periodică cu perioada 2π/ω (a se vedea Figura 1.9). 

Prin urmare, deoarece ω = v0/R, rezultă că perioada mi¸scării circulare este 

T = 2π 

ω 

2πR 

= . (1.54) 

v0 

Inversa acestei perioade este numită frecvent¸ă ν = 1 ω 

T = 2π . 

Deoarece t = 1 

Rk × (P − O), unde k este vector unitar, ortogonal cercului ¸si 

direct¸ionat astfel ca t, k, (P −O) să formeze un triplet drept, din (1.52) obt¸inem 

v = ˙ θk × (P − O) = ω × (P − O), (1.55)


unde ω = ˙ θk este numită viteză unghiulară. 

Expresia (1.55) pentru viteza lui P în termenii vectorului ω poate fi de 

asemenea scrisă folosind matricea antisimetrică W = (Whk) legată de vectorul 

ω = (ω1, ω2, ω3) ¸si definită astfel 

⎛ 

W = ⎝ 0 −ω3 

⎞ 

ω2 

ω3 0 −ω1 ⎠ . 

−ω2 ω1 0 

Este u¸sor de verificat ( 8 ) că , dacă x = (x1, x2, x3), atunci ω×(P −O) = Wx, 

¸si deci 

v = Wx. 

Mai mult, deoarece 

ˆs(t) = R ˆ θ(t) = R(ωt + θ0), 

rezultă că funct¸ia ˆs este de asemenea periodică cu perioada T = 2πR , ¸si deci 

v0 

mi¸scarea este periodică cu aceea¸si perioada T . 

În final, deoarece mi¸scarea este uniformă (¨s = 0), accelerat¸ia este centripetă 

Ecuat¸iile carteziene a mi¸scării circulare sunt 

a = v2 0 

R n = −ω2 (P − O). (1.56) 

x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, θ = ˆ θ(t). 

Dacă mi¸scarea este uniformă, atunci ˆ θ(t) = ωt + θ0, ¸si astfel 

x1 = R cos(ωt + θ0), x2 = R sin(ωt + θ0). 

Exercit¸iu 1.1.12 Mi¸scarea unui punct P este descrisă de x(t) = 3 cos ωti1 + 

3 sin ωti2, unde ω este o constantă prescrisă. Să se demonstreze că mi¸scarea 

este centrală. Calculat¸i x · v ¸si x × v. 

Solut¸ie. Avem v = −3ω sin ωti1 + 3ω cos ωti2 and a = −3ω 2 cos ωti1 − 

3ω 2 sin ωti2. Apoi, avem a = −ω 2 x ¸si deci mi¸scarea este centrală. Obt¸inem 

x·v = −9ω sin ωt cos ωt+9ω sin ωt cos ωt = 0 ¸si x×v = (3 cos ωti1 +3 sin ωti2)× 

(−3ω sin ωti1 + 3ω cos ωti2) = 9ωi3. 

Exercit¸iu 1.1.13 Un punct P se mi¸scă pe un cerc a cărui rază este R cu 

accelerat¸ia tangent¸ială constantă at. Punctul P porne¸ste din P0 la momentul 

t = 0. Determinat¸i intervalul de timp în care accelerat¸ia centripetă an devine 

egală cu accelerat¸ia tangent¸ială at. 

Solut¸ie. Avem at = ¨s ¸si an = ˙s2 

ρ 

= ˙s2 

R . Astfel, deducem că ˙s = att + c ¸si, 

din condit¸ia init¸ială ˙s(0) = 0, obt¸inem ˙s = att. Avem an = at unde ˙s2 

deci (att) 2 

R 

= Rat. Prin urmare, intervalul cerut este t = at . 

8 A se vedea Teorema D.2 din Appendix D. 

R = at ¸si


Exercit¸iu 1.1.14 Un punct se mi¸scă pe cercul de raza R după următoarea 

ecuat¸ie orară s = v0t − c 

2t2 , unde v0 ¸si c sunt constante. Să se determine 

mărimea accelerat¸iei. 

Solut¸ie. Avem ˙s = v0 − ct ¸si ¨s = −c, ¸si astfel obt¸inem 

Deci, avem 

a = ¨st + ˙s2 

ρ n = −ct + (v0 − ct) 2 

n. 

R 

a = 

 

c2 + (v0 − ct) 4 

R2 . 

Exercit¸iu 1.1.15 Un punct se mi¸scă pe un cerc de rază R cu accelerat¸ia unghiulară 

constantă α. La momentul t = 0, punctul porne¸ste din repaus. Să se 

demonstreze că la momentul t viteza unghiulară este ω = αt ¸si că a parcurs 

lungimea de arc s = 1 

2 Rαt2 . 

Solut¸ie. Deoarece ¨ θ = α, rezultă că θ = 1 

2αt2 + θ1t + θ0, unde θ0, θ1 sunt 

constante. Luând în considerare condit¸iile init¸iale, deducem că θ1 = 0 ¸si deci 

θ − θ0 = 1 

2αt2 . Apoi, avem ω = αt ¸si s = R[θ(t) − θ0] = 1 

2Rαt2 . 

1.1.9 Mi¸scări armonice 

Începem cu studiul unei miscari circulare uniforme a unui punct P pe un cerc 

de centru O ¸si rază R. Notăm cu P ∗ proiect¸ia lui P pe un diametru fixat 

AB. Atunci, în timp ce P descrie cercul, P ∗ se mi¸scă pe diametrul AB după 

următoarea lege (Figura 1.10): 

x = R cos( ˙ θt + θ0), 

unde x este componenta lui P −O de-a lungul diametrului AB, ¸si θ este unghiul 

P OB. În final, θ0 este valoarea lui θ la t = 0. Deoarece mi¸scarea este uniformă, 

˙θ = ω este constant ¸si avem 

x = R cos(ωt + θ0), (1.57) 

¨x = −Rω 2 cos(ωt + θ0). (1.58) 

Definit¸ie 1.1.13 O mi¸scare rectilinie este numită oscilat¸ie armonică dacă ecuat¸ia 

orară este dată de 

s(t) = C cos(ωt + γ), (1.59) 

unde constantele C, ω ¸si γ sunt numite amplitudine, pulsat¸ie (sau frecvent¸ă 

unghiulară) ¸si fază. 

Rezultă din (1.57) că mi¸scarea lui P ∗ de-a lungul diametrului AB este armonică. 

În plus, din (1.57) ¸si (1.58), obt¸inem proprietatea importantă descrisă 

de ecuat¸ia 

¨s = −ω 2 s, (1.60)


A O x P* B x 

Figura 1.10: 

θ 

P 

adică, într-o mi¸scare armonică, accelerat¸ia scalară ¨s este proport¸ională cu distant¸a 

parcursă s, are semn opus ¸si coeficient¸ul său de proport¸ionalitate este egal cu 

pătratul frecvent¸ei unghiulare ω. 

Notăm că expresia (1.60) nu cont¸ine nici amplitudinea, nici faza init¸ială a 

mi¸scării armonice. Într-adevăr, avem următorul rezultat: 

Teoremă 1.1.4 Orice mi¸scare armonică de frecvent¸ă unghiulară ω (cu amplitudine 

a ¸si fază arbitrară) satisface ecuat¸ia diferent¸ială (1.60), ¸si vice versa. 

Demontrat¸ie. Dacă A este amplitudinea ¸si γ este faza init¸ială a unei 

mi¸scări armonice date 

s(t) = A cos(ωt + γ), 

atunci, în baza relat¸iilor (1.57) ¸si (1.58), satisface ecuat¸ia (1.60). 

Vice versa, dată ecuat¸ia diferent¸ială (1.60), concluzionăm că ecuat¸ia caracteristică 

este 

λ 2 + ω 2 = 0, 

a cărui solut¸ii sunt λ1 = −iω, λ2 = iω; astfel, solut¸ia generală este dată de 

formula 

s(t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt. (1.61) 

Alegând două constante A ¸si γ astfel ca 

din (1.61) obt¸inem 

C1 = A cos γ, C2 = −A sin γ, 

s(t) = A cos ωt cos γ − A sin ωt sin γ = A cos(ωt + γ). 

Astfel, ecuat¸ia (1.60) este caracteristică mi¸scărilor armonice cu frecvent¸a unghiulară 

ω.


Observat¸ie 1.1.4 O mi¸scare armonică cu frecvent¸a unghiulară ω are aceea¸si 

perioadă cu mi¸scarea circulară uniformă, adică, T = 2π/ω; în timp ce amplitudinea 

oscilat¸iei coincide cu rasa cercului, ¸si faza coincide cu valoarea unghiului 

θ la t = 0. 

Exercit¸iu 1.1.16 Un punct P are o mi¸scare oscilatorie armonică descrisă de 

ecuat¸ia 

 

2π 

x = A sin 

T t 

 

. 

Pentru x = x1 viteza punctului este v1, în timp ce pentru x = x2 viteza este 

v2. Să se determine amplitudinea A ¸si perioada T a mi¸scării oscilatorii a 

punctului P . 

Solut¸ie. Viteza punctului P este v = A 2π 

T cos 2π 

T t . Atunci, din ipoteză, 

avem 

 

2π 

x1 = A sin 

T t1 

 

, v1 = A 2π 

T cos 

 

2π 

T t1 

 

, 

Eliminând t1 ¸si t2, obt¸inem 

din care deducem 

 

2π 

x2 = A sin 

T t2 

 

, v2 = A 2π 

T cos 

 

2π 

T t2 

 

. 

x 2 1 + 

A = 

2 T 

4π2 v2 1 = A 2 , x 2 2 T 

2 + 

4π2 v2 2 = A 2 , 

 

x2 1v2 2 − x22 v2 1 

v2 2 − v2 , T = 2π 

1 

 

x2 1 − x22 v2 2 − v2 . 

1 

Exercit¸iu 1.1.17 Legea de mi¸scare a unui lift este x = H (1 − cos ϕ), unde H 

2 

2k 

H 

este cea mai mare înălt¸ime la care ajunge liftul ¸si ϕ = t, k = constant. Să 

se determine viteza ¸si accelerat¸ia liftului. Determinat¸i timpul necesar liftului pe 

tru a ajunge la înălt¸imea H. 

Solut¸ie. Prin derivări succesive, obt¸inem 

v = 

kH 

2 

sin ϕ, a = k cos ϕ. 

În plus, pentru x = H, deducem H 

2 (1 − cos ϕ) = H ¸si deci ϕ = π. Astfel, 

 

2k 

H 

relat¸ia π = H t ne oferă timpul t = π 2k .


x 1 

O 

θ 

x 3 

P 

P 

P * 

Figura 1.11: 

x 2


1.1.10 Mi¸scări elicoidale 

Considerăm un cilindru circular de rază R. Numim elice circulară o formă 

descrisă de o curbă care intersectează mereu generatoarea cilindrului sub un alt 

unghi (Figura 1.11). 

Definit¸ie 1.1.14 Mi¸scarea unui punct P pe o suprafat¸ă cilindrică este numită 

elicoidală dacă punctul P se mi¸scă pe cilindru după o elice. 

Alegem un sistem cartezian ortogonal (O, x1, x2, x3) astfel ca axa x3− să 

coincidă cu axa cilindrului. Apoi, notăm cu θ unghiul dintre proiect¸ia (P ∗ − O) 

a lui (P − O) pe planul x1Ox2 ¸si axa x1. 

Este posibil să reprezentăm mi¸scarea punctului folosind următoarea expresie 

a vectorului (P − O) : 

P − O = (P − P ∗ ) + (P ∗ − O). (1.62) 

Deoarece mi¸scarea punctului P ∗ este una circulară, alegând convenabil sistemul 

de referint¸ă (O, x1, x2, x3), obt¸inem 

P − O = R cos θi1 + R sin θi2 + hθi3, 

unde h este un parametru ales astfel ca |P − P ′ | = 2πh. Observă că |P − P ′ | 

reprezintă distant¸a dintre două puncte consecutive ale elicei, situate pe aceea¸si 

generatoare ¸si numită pasul elicei. Din ultima relat¸ie obt¸inem 

x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, x3 = hθ. 

Acest sistem reprezintă (elicea) drumul lui P , în timp ce ecuat¸ia orară este dată 

în termenii lui θ, de funct¸ia θ = ˆ θ(t). 

Dacă mi¸scarea este uniformă, atunci avem ˙ θ = constant, ¸si mi¸scarea va fi 

numită elicoidală ¸si uniformă. 

Folosind formula (1.62), este posibil să obt¸inem următoarea descompunere 

a vitezei: 

v = 

d(P − O) 

dt 

= d(P − P ∗ ) 

dt 

Deoarece mi¸scarea lui P ∗ este circulară, avem 

Astfel, din ω(t) = ˙ θ(t)i3, obt¸inem 

v = h ˙ θi3 + ˙ θi3 × (P ∗ − O). 

v = hω + ω × (P ∗ − O). 

+ d(P ∗ − O) 

. 

dt 

Ultima relat¸ie demonstrează că viteza are două componente, prima corespunde 

unei mi¸scări rectilinii de-a lungul axei x3− ¸si ce-a de a doua corespunde unei


mi¸scări circulare. Să definim acum vectorul tangent t ¸si normala principală n. 

Deoarece s = (R 2 + h 2 ) 1/2 θ, avem dθ 

ds = (R2 + h 2 ) −1/2 . Mai mult, obt¸inem 

t = dP dθ dθ 

= 

dθ ds 

n = ρ dt dt 

= ρ 

ds dθ 

ds (−R sin θi1 + R cos θi2 + hi3), 

 

dθ dθ 

= ρ 

ds ds 

2 

R(− cos θi1 − sin θi2). 

Deoarece n este un vector unitar, deducem din ultima relat¸ie că ρ = 

dθ −2 1 

ds R = 

R 2 +h 2 

R , ¸si în consecint¸ă avem n = − P ∗ −O 

R . Astfel, normala principală la curbă 

coincide cu normala la suprafat¸ă ¸si astfel elicile sunt geodezice ( 9 ) ale cilindrului. 

Trebuie punctat faptul că o descriere generală a mi¸scării folosind coordonatele 

curbilinii este prezentată în Appendix A. 

Exercit¸iu 1.1.18 Mi¸scarea unui punct este dată de x = a cos e −t i1+a sin e −t i2+ 

be −t i3, unde a, b sunt constante pozitive. Să se determine componentele tangent¸ială 

¸si normală ale accelarat¸iei punctului. 

Solut¸ie. Avem o mi¸scare elicoidală. Prin derivare directă, avem dx = 

−e −t (−a sin e −t i1 + a cos e −t i2 + bi3) dt, ¸si deci ds = e −t√ a 2 + b 2 dt. Mai mult, 

avem 

¸si 

¸si 

t = dx 

ds = 

1 −t √ a sin e i1 − a cos e 

a2 + b2 −t 

i2 − bi3 , 

dt 

ds 

Apoi, deducem că 

dt dt a 

= = − 

dt ds a2 + b2 −t 

cos e i1 + sin e −t 

i2 . 

v = ˙st = e −t a 2 + b 2 t, 

at = ¨st = −e −t a2 + b2 2 dt 

t, an = ˙s 

ds = −ae−2th, unde h = cos e −t i1 + sin e −t i2. 

1.2 Cinematica sistemelor materiale ¸si corpurilor 

rigide 

1.2.1 Legături ¸si sisteme olonome 

Să considerăm un sistem material B de N puncte materiale, care sunt notate cu 

P1, P2, . . ., PN. Dacă punctele sunt libere să ocupe pozit¸ii arbitrare din spat¸iu, 

atunci sistemul material este numit liber. Configurat¸ia sistemului material liber 

a N puncte dată într-un sistem de referint¸ă (O, x1, x2, x3) este cunoscută atunci 

9 Reamintim că geodezica la o suprafat¸ă este acea curbă de pe suprafat¸ă a cărui normală 

este direct¸ionată de-a lungul normalei la suprafat¸ă (a se vedea Appendix A, definit¸ia A.13).

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE31 

când sunt cunoscut¸i vectorii de pozit¸ie ai fiecărui punct relativ la un punct fixat 

în (O, x1, x2, x3). Astfel, N cantităt¸i vectoriale sau, echivalent, 3N cantităt¸i 

scalare sunt cerute pentru a specifica configurat¸ia sistemului material liber întrun 

sistem de referint¸ă fixat. 

Dacă, spre deosebire, mi¸scarea unui sistem material este afectată de prezent¸a 

corpurilor care vin în contact cu câteva dintre punctele lui B, legături pot fi 

impuse asupra pozit¸iilor pe care punctele materiale le pot ocupa sau asupra 

manierei în care aceste pozit¸ii se pot schimba. În acest caz, clasa P, reprezentând 

toate pozit¸iile posibile ale sistemului material B, nu este destul de largă pentru 

a permite corpului B să aibă o configurat¸i arbitrară în E. Se spune astfel 

că sistemul material B este supus la legături. Dacă, pornind de la cunoa¸sterea 

câtorva componente ale deplasărilor sistemului material, putem afirma ceva despre 

deplasările rămase, putem spune că această legătură este activă. 

Definit¸ie 1.2.1 Numim legătură orice mecanism care impune restrict¸ii privind 

pozit¸ia ¸si viteza ale celor N puncte care formează sistemul material. Aceste 

restrict¸ii pot fi exprimate analitic prin intermediul unei relat¸ii între coordonatele 

¸si vitezele punctelor sistemului de material în forma 

ψ (x1, x2, . . . , xN, ˙x1, ˙x2, . . . , ˙xN, t) ≥ 0. (1.63) 

În relat¸iile de mai sus, (xi, ˙xi) reprezintă pozit¸ia ¸si viteza punctului Pi, i = 

1, 2, ..., N. Mai mult, noi vom presupune ulterioe că funct¸ia ψ este suficient de 

regulată. 

Ca un prim exemplu de sistem material care este supus legăturilor, putem 

considera un sistem rigid, care este un sistem material P1, P2, ..., PN pentru 

care distant¸ele dintre punctele rămân invariabile în raport cu timpul, adică 

d(Ph(t), Pk(t)) = dhk, h, k = 1, 2, ..., N, 

unde d reprezintă distant¸a dintre puncte ¸si dhk sunt independente de timp. 

Un alt exemplu de sistem constrâns poate fi găsit în studiul mi¸scării unui 

punct P fort¸at să se mi¸ste pe un cerc. De fapt, dacă O este centrul cercului de 

rază R, avem 

(P − O) 2 = R 2 . (1.64) 

Definit¸ie 1.2.2 Spunem că o legătură este bilaterală când restrict¸iile sistemului 

materil pot fi reprezentate de o relat¸ie de tipul (1.63) dar cu egalitate. 

Spunem că avem o legătură unilaterală când relat¸ia ce o descrie este o inegalitate. 

Exemplele de mai sus reprezentând un sistem rigid ¸si un punct ce se mi¸scă 

pe cerc descriu legături bilaterale. Un exemplu de legătură unilaterlă este acela 

a unui punct fort¸at să rămână într-un plan sau cel a unui punct constrâns să 

rămână în interiorul unei sfere.


O 

x 2 

R(t) 

Figura 1.12: 

Definit¸ie 1.2.3 Spunem că o legătură este scleronomă sau independentă de 

timp dacă relat¸ia care descrie legătură nu cont¸ine timpul în mod explicit. O 

legătură este reonomă sau dependentă de timp dacă relat¸ia care descrie legătura 

depinde explicit de timp. 

Un exemplu de legătură reonomă este descrisă de Figura 1.12 de un punct 

constrâns să rămână pe un cerc de rază R(t), variabilă în timp, adică este 

legătura reprezentată de 

P 

x 1 

(P − O) 2 = x 2 1 + x 2 2 = R 2 (t). 

Definit¸ie 1.2.4 O legătură este numită olonomă sau geometrică sau de pozit¸ie 

dacă ea restrict¸ionează doar pozit¸iile sistemului ¸si deci aceste legături sunt independente 

de vitezele punctelor, adică legăturăa are următoarea formă 

ψ (x1, x2, . . . , xN, t) ≥ 0. (1.65) 

În general, o legătură este numită neolonomă sau cinematică sau de mi¸scare 

dacă relat¸iile care descriu legătura sunt dependente de vitezele punctelor ¸si deci 

au forma (1.63). 

Exemplele pe care le-am considerat mai sus sunt toate referitoare la legături 

olonome. Un exemplu de legătură neolonomă este reprezentat de legăturăa 

care determină rostogolirea unei sfere pe un plan fară să alunece. Vom discuta 

ulterior modul în care această legătură poate fi definită de o ecuat¸ie de forma 

(1.63).


În domeniul mecanicii, legăturile neolonome nu sunt foarte frecvent întâlnite. 

Aceste legături sunt de obicei exprimate prin relat¸ii care sunt liniare în raport cu 

vitezele punctelor care formează sistemul. Pentru cazul unui sistem constituit 

dintr-un num˘r finit N de puncte supuse unor legături bilaterale, aceste relat¸ii 

au următoarea forma: 

N 

as(x1, . . . , xN , t) · ˙xs + α (x1, . . . , xN , t) = 0. (1.66) 

s=1 

De fapt, pentru a fi un sistem neolonom, forma diferent¸ială (1.66) trebuie să nu 

fie integrabilă. Aceasta înseamna că nu există nicio funct¸ie ˆ F care depinde de 

coordonatele punctelor sistemului material, astfel ca 

d 

dt ˆ F (x1, . . . , xN , t) = 

N 

as(x1, . . . , xN , t) · ˙xs + α (x1, . . . , xN , t) = 0. (1.67) 

s=1 

Într-adevăr, dacă o astfel de funct¸ie ar exista, din (1.67), putem obt¸ine 

ˆF (x1, . . . , xN , t) = constant, (1.68) 

care este o relat¸ie de tipul (1.65), ¸si care caracterizează o legătură olonomă. 

Prin urmare, pentru a avea o legătură neolonomă, este esent¸ial ca relat¸ia (1.66) 

să nu fie o formă diferentială integrabilă . În caz contrar, legătura olonomă s-ar 

putea exprima ca relat¸ii reductibile la ecuat¸ia (1.68). 

Definit¸ie 1.2.5 Un sistem material este numit olonom dacă posibilele sale 

legături sunt toate olonome ¸si posibilele sale configurat¸ii pot fi identificate în 

mod unic de un numă r finit n de parametri independent¸i, q1, q2,. . . , qn, numit¸i 

coordonate generalizate sau coordonate lagrangiane. Numărul n este numit 

numărul gradelor de libertate al sistemului, sau se spune că sistemul are n 

grade de libertate. 

Un punct material liber (adică, un punct a cărui mi¸scarea nu este supusă 

la nicio legătură, ¸si în consecint¸ă la relat¸ii de tipul (1.63)) reprezintă un sistem 

olonom cu trei grade de libertate. Un punct material fort¸at să se mi¸ste pe o 

suprafat¸ă, adică este supus unei legături definite de o relat¸ie de următorul tip: 

ϕ (x, y, z, t) = 0, 

c reprezintă un sistem olonom cu două grade de libertate. Într-adevăr, pentru a 

determina pozit¸ia unui punct pe o suprafat¸ă, ne trebuie doi parametri. În final, 

un punct constrâns să se mi¸ste pe o curbă reprezintă un sistem olonom cu doar 

un grad de libertate, deoarece un parametru este suficient pentru a identifica 

pozit¸ia punctului pe o curbă dată. 

Este posibil să prezentăm conceptul de grad de libertate ¸si numărul lor 

pornind cu un sistem constituit dintr-un număr finit N de puncte materiale


cu constrangeri olonome bilaterale. Dacă sistemul este supus la r < 3N legături 

bilaterale, definite de r ecuat¸ii independente de următorul tip: 

ψh(x1, x2, . . . , xN, t) = 0, h = 1, 2, . . . , r, (1.69) 

atunci există numai n = 3N − r parametri independent¸i, deoarecem folosind 

sistemul (1.69), putem, pentru exemplu, exprima r coordonatele în termenii 

a celor n = 3N − r rămase. Vorbind mai general, putem găsi n parametri 

independent¸i q1, q2,. . . , qn care determină pozit¸ia oricărui punct al sistemul, 

adică avem 

Ps = Ps(q1, . . . , qn, t), s = 1, 2, . . . , N. (1.70) 

Prin urmare, numărul n de grade de libertate a sistemului poate fi obt¸inut 

scăzând numărul r al ecuat¸iilor legăturilor din 3N, care este numărul gradelor 

de libertate ale unui sistem constituit din puncte libere. 

Pentru un sistem material dat, este posibil să asociem n coordonate la- 

grangiane q1, q2, . . . , qn într-un număr infinit de moduri. 

Într-adevăr, orice 

transformare χ : R n → R n care este injectivă ¸si suficient de regulată poate 

determina un nou n–uplu de parametri lagrangiani. 

Presupunem că, pe lângă legăturile bilaterale, un sistem olonom este de 

asemenea supus la legături unilaterale de următoarea formă 

ψ ′ (x1, x2, . . . , xN , t) ≥ 0. (1.71) 

Este clar că, dacă luăm în calcul doar legături bilaterale, folosind argumentat¸ii 

similare cu cele folosite mai sus, putem defini de asemenea, în acest caz, n coordonate 

lagrangiane q1, q2, . . . , qn, ¸si în consecint¸ă obt¸inem ecuat¸iile (1.70). 

Deoarece coordonatele punctelor sistemului trebuie să satisfacă inegalităt¸ile 

(1.71), ace¸sti parametri lagrangiani vor satisface de asemenea inegalităt¸i de 

următoarea formă: 

ϕ (q1, q2, . . . , qn, t) ≥ 0. (1.72) 

Este posibil să explicăm de ce aceste inegalităt¸i nu pot reduce numărul de 

grade de libertate ¸si prin ramâne egal cu cea a sistemului care este supus numai 

la legături olonome ¸si bilaterale. Spre exemplu, numărul de parametri 

independent¸i pentru un punct de constrâns să se mi¸ste într-o camera numărul 

gradelor de libertate rămâne egal cu trei, chiar dacă ace¸sti parametri sunt legat¸i 

reciproc prin intermediul relatiilor de tipul (1.72), deoarece punctele nu pot 

parăsi sala. 

Definit¸ie 1.2.6 Un sistem material este numit neolonom dacă este supus la cel 

put¸in o legătură neolonomă. 

De¸si legăturile neolonome impun unele restrict¸ii cu privire la vitezele punctelor 

din sistem, nu le interzice să aibă orice pozitie decât dacă este supusă unei 

legături olonome, astfel legăturile neolonome nu reduc numărul de parametri 

lagrangiani ai sistemului. Prin urmare, în studiul sistemelor neolonome, trebuie 

mai întâi să considerăm sistemul material care este supus doar la legături


olonome pentru a determina gradele de libertate ¸si a parametrilor lagrangiani; 

apoi, trebuie să introducem noi legături neolonome cum ar fi noi ecuat¸ii sau inegalităt¸i. 

Dacă q1, q2, . . . , qn sunt parametri lagrangiani a unui sistem cu n grade 

de libertate, atunci legătura neolonomă de tipul (1.66) poate fi reprezentată ca 

n 

Ai(q; t) ˙qi + α(q; t) = 0. (1.73) 

i=1 

Exercit¸iu 1.2.1 Pentru oricare din următoarele cazuri, determinat¸i dacă legătură 

este olonomă sau neolonomă: a) un punct material care se mi¸scă pe un cerc; 

b) un punct material greu care se mi¸scă pe un plan înclinat; c) o placă rigidă 

alunecând pe un plan fixat x1Ox2; d) un punct material P de coordonate (x1, x2, x3) 

este fort¸at să se mi¸ste în a¸sa fel încât componentele vitezei satisfac următoarea 

relat¸ie ˙x1 = f(x2, x3) ( ˙x2 + ˙x3), cu ∂f ∂f 

= ; e) o lama subt¸ire rigidă fixată 

∂x2 ∂x3 

pe o placă rigidă care alunecă pe un plan fixat x1Ox2. 

Solut¸ie. a) Punctul se mi¸scă pe o curbă ¸si deci este o legătură olonomă. 

b) Punctul se mi¸scă pe o suprafat¸ă ¸si deci legătura este olonomă. 

c) Placa rigidă se mi¸scă pe un planul înclinat fixat ¸si legătura este olonomă. 

d) Dacă această legătură ar fi olonomă, atunci poate fi scrisă în următoarea 

formă F (x1, x2, x3) = 0. Din această ipoteză, deducem că 

∂F 

∂x1 

¸si aceasta coincide cu relat¸ia de legătură 

dx1 + ∂F 

dx2 + 

∂x2 

∂F 

dx3 = 0, 

∂x3 

dx1 − f(x2, x3)dx2 − f(x2, x3)dx3 = 0, 

dacă ¸si numai dacă există λ(x1, x2, x3) astfel ca 

∂F 

= λ, 

∂x1 

∂F 

= −λf, 

∂x2 

∂F 

= −λf. 

∂x3 

Dacă vom egala derivatele mixte de ordinul doi ale funct¸iei F , obt¸inem 

∂λ 

∂x2 

¸si deci deducem că 

= ∂λ 

= − 

∂x3 

∂λ 

f, − 

∂x1 

∂λ 

f − λ 

∂x3 

∂f 

= − 

∂x3 

∂λ 

f − λ 

∂x2 

∂f 

, 

∂x2 

∂f 

∂x2 

o relat¸ie care contrazice ipoteza că ∂f 

∂x2 

= ∂f 

, 

∂x3 

∂f 

= . Prin urmare, avem o legătură 

∂x3 

neolonomă. 

e) Deoarece avem o mi¸scare de alunecare, fără rotat¸ie ¸si fără pivotare, rezultă 

că viteza unui punct P al lamei subt¸iri este tangentă la lamă. Dacă vom nota 

cu x1 ¸si x2 coordonatele punctului ¸si cu θ unghiul format de lamă cu axa Ox1,


atunci x1, x2 ¸si θ constituie coordonatele generalizate pentru lama subt¸ire ¸si, în 

plus, avem 

dx2 

= tan θ. (1.74) 

dx1 

Legătura de mai sus este neolonomă, deoarece nu este integrabilă. De fapt, dacă 

presupunem că există o relat¸ie de tipul F (x1, x2, θ) = 0, deducem că 

∂F 

∂x1 

dx1 + ∂F 

dx2 + 

∂x2 

∂F 

dθ = 0, (1.75) 

∂θ 

¸si deci, luând în considerare legătura (1.74) ¸si deoarece dθ este arbitrar, obt¸inem 

∂F 

∂θ 

= 0, 

∂F 

∂x1 

+ ∂F 

tan θ = 0. (1.76) 

∂x2 

Prima relat¸ie din (1.76) implică că F este independent de θ, în timp ce a doua 

relat¸ie din (1.76) conduce la 

∂F 

= 0, 

∂x1 

∂F 

= 0, 

∂x2 

deoarece tan θ este arbitrar. Astfel, putem concluziona că F este independent 

de x1, x2 ¸si θ ¸si nu poate fi o legătură. Aceasta constradict¸ie provide din faptul 

că am presupuns că (1.74) este o legătură olonomă. A¸sadar, legătura (1.74) este 

neolonomă. 

Exercit¸iu 1.2.2 Determinat¸i numărul gradelor de libertate pentru următoarele 

cazuri: a) un punct care se mi¸scă pe o curbă din spat¸iu: b) trei punct care se 

mi¸scă liber într-un plan: c) patru puncte care se mi¸scă liber în spat¸iu: d) două 

puncte care se mi¸scă în spat¸iu, unite printr-o bară rigidă 

Solut¸ie. a) Curba din spat¸iu poate fi dată de reprezentarea naturală x1 = 

x1(s), x2 = x2(s), x3 = x3(s). Prin urmare, pozit¸ia punctului pe curbă poate fi 

descrisă de parametrul specificats. Astfel, sistemul are un grad de libertate. 

b) Fiecare punct cere două coordontate pentru a îi specifica pozit¸ia sa în 

plan. Astfel, sunt necesare 3 · 2 = 6 coordonate pentru a specifica pozit¸ia 

tuturor celor trei puncte ¸si astfel sistemul are 6 grade de libertate. 

c) Pentru a specifica pozit¸ia unui punct material din sistemul considerat, 

avem nevoie de trei coordonate. Astfel, sistemul necesită 4 · 3 = 12 coordonate 

¸si deci are 12 grade de libertate. 

d) Coordonatele (x1, x2, x3) ¸si (y1, y2, y3) ale celor două punct sunt în a¸sa fel 

încât distant¸a dintre ele rămâne constantă, adică (x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + (x3 − 

y3) 2 = constant. Prin urmare, una din cele ¸sase coordonate poate fi exprimată 

în termenii celorlalte cinci ¸si deci sistemul are cinci grade de libertate. 

Exercit¸iu 1.2.3 Câte grade de libertate are un corp rigid când: a) se mi¸scă 

liber în spat¸iul tridimensional; b) are un punct fix ¸si se mi¸scă în jurul lui; c) 

are două puncte fixe ¸si se mi¸scă în jurul axei ce trece prin aceste două puncte 

distincte; d) se mi¸scă în jurul unei axe fixe; e) se mi¸scă în a¸sa fel încât trei 

puncte necoliniare rămân într-un plan fix.


Solut¸ie. Dacă trei puncte necoliniare Pi, i = 1, 2, 3, ale rigidului sunt fixate, 

atunci întreg rigidul este fixat. Astfel, mi¸scarea corpului rigid va fi cunoscută 

când cunoa¸stem cum se mi¸scă trei puncte necoliniare ae corpului rigid. 

a) Într-un sistem fix de coordonate (O, x1, x2, x3), fie (x1, x2, x3), (y1, y2, y3), 

(z1, z2, z3) coordonatele a trei puncte. Deoarece d(P1, P2) = constant, d(P2, P3) = 

constant, d(P3, P1) = constant, rezultă că 

(x1 − y1) 2 + (x2 − y2) 2 + (x3 − y3) 2 = constant, 

(y1 − z1) 2 + (y2 − z2) 2 + (y3 − z3) 2 = constant, (1.77) 

(z1 − x1) 2 + (z2 − x2) 2 + (z3 − x3) 2 = constant, 

¸si deci putem exprima trei coordonate în termenii a celorlalte ¸sase. Prin urmare, 

avem nevoie de ¸sase coordonate independente pentru a descrie mi¸scarea corpului 

rigid ¸si deci această mi¸scarea are ¸sase grade libertate. 

b) Presupunem punctul fix ca fiind P1 de la punctul anterior a) ¸si deci avem 

x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3. (1.78) 

Astfel, din sistemul de ecuat¸ii descris de relat¸iile (1.77) ¸si (1.78), putem exprima 

¸sase coordonate în termenii a altor trei. Prin urmare, mi¸scarea poate fi descrisă 

prin trei parametri independent¸i ¸si are trei grade de libertate. 

c) Presupunem că punctele fixe sunt P1 ¸si P2 de la punctul a), adică 

x1 = a1, x2 = a2, x3 = a3, (1.79) 

y1 = b1, y2 = b2, y3 = b3. 

Atunci, din sistemul de ecuat¸ii descris de (1.77) ¸si (1.79) putem exprima opt 

coordonate în termenii unei singure coordonate. Prin urmare, această mi¸scare 

poate fi descrisă doar de un parametru ¸si deci are un grad de libertate. 

0 d) Fie u versorul director al unei drepte fixe (d) ¸si fie P0 x1, x0 2, x0 

3 un 

punct fixat pe (d). Atunci dreapta fixă (d) are ecuat¸ia vectorială P − P0 = λu, 

λ ∈ R. Luăm P1 ¸si P2 pe dreapta (d) ¸si P3 /∈ (d). Atunci, avem P1 − P0 = λ1u, 

P2 − P0 = λ2u, cu λ1, λ2 ∈ R ¸si deci 

x1 − x 0 1 = λ1u1, x2 − x 0 2 = λ1u2, x3 − x 0 3 = λ1u3, 

y1 − x 0 1 = λ2u1, y2 − x 0 2 = λ2u2, y3 − x 0 3 = λ2u3. (1.80) 

Prin urmare, din relat¸iile (1.77) ¸si (1.80), puteam exprima nouă coordonate în 

termenii parametrilor λ1 ¸si λ2. Bazându-ne pe aceasta, putem concluziona că 

această mi¸scare poate fi descrisă prin doi parametri independet¸i ¸si deci are două 

grade de libertate. 

e) Fie (π) : ax1 + bx2 + cx3 + d = 0 un plan fix. Presupunând că Pi ∈ (π), 

i = 1, 2, 3, avem 

ax1 + bx2 + cx3 + d = 0, 

ay1 + by2 + cy3 + d = 0, (1.81) 

az1 + bz2 + cz3 + d = 0. 

Din relat¸iile (1.77) ¸si (1.81), putem exprima ¸sase coordonate în termenii altor 

trei coordonate ¸si deci putem concluziona că mi¸scarea are trei grade de libertate.


x 1 

O 

x 3 

y 1 

O ′ 

y 2 

Figura 1.13: 

1.2.2 Cinematica sistemelor rigide 

P 

Multe sisteme materiale sunt constituite de către un corp rigid sau dintr-un 

număr de corpuri rigide conectate între ele. Am observat deja că un corp 

rigid este un sistem material supus unor legăruti care conservă distant¸ele între 

punctele corpului, adică, dacă P ¸si Q sunt două puncte arbitrare ale corpului, 

avem 

(P (t) − Q(t)) 2 = constant. 

Este important să ret¸inem că un corp rigid este definit ca un model matematic 

pentru a descrie multe alte corpuri solide într-un mod suficient de exact. 

Astfel de corpuri nu există în natura, deoarece ultimele particule componente 

ale oricărui corp (atomi) sunt întotdeauna supuse unor mi¸sci relative. Această 

mi¸scare este microscopică ¸si poate fi neglijată atunci când descriem mi¸scarea 

macroscopică a corpului. Pe de altă parte, măsurători precise ale acestor corpuri 

pot pune în evident¸ă prezent¸a unor mici deformări. Prin urmare, considerăm 

corpului a fi rigid numai în cazul în care astfel de deformări nu influent¸ează 

mi¸scarea sa. 

Considerăm un corp rigid liber, adică, un rigid supus numai la legăturile 

de rigiditate. Pentru a studia mi¸scarea sa, vom introduce un sistem ortogonal 

de referint¸ă drept (O, x1, x2, x3), pe care îl numim fix în spatiu, fat¸ă de un 

observator la care referim mi¸scarea, ¸si un sistem de referint¸ă (ortogonal drept) 

(O ′ , y1, y2, y3) fixat în corp (a se vedea Figura 1.13). 

Propozit¸ie 1.2.1 Pozit¸ia fiecărui punct al corpului rigid poate fi identificată 

dacă se cunoa¸ste configurat¸ia tripletului fixat în corp fat¸ă de cel fixat în spat¸iu. 

y 3 

x 2


Demonstrat¸ie. Fie (c1, c2, c3) un sistem de coordonate carteziene cu originea 

în punctul O ′ fat¸ă de un sistem de referint¸ă fixat în spact¸iu, fie i1, i2, i3 vectorii 

unitari ai axelor x1, x2, x3 ¸si fie j1, j2, j3 vectorii directori ai axelor y1, y2, y3. 

Atunci, cosinusurile αhk ale unghiurilor axelor y1, y2, y3 cu axele triedrului fixat 

sunt date de matricea 

αhk = ih · jk, jk = 

3 

αhkih. (1.82) 

Astfel, este posibil să deducem formula care definet¸e transformarea ce face 

legătura dintre coordonatele punctului P calculate în cele două sisteme de 

referint¸ă. Astfel, scriem 

h=1 

P − O = (P − O ′ ) + (O ′ − O). (1.83) 

Dacă (x1, x2, x3) and (y1, y2, y3) sunt coordonatele lui P fat¸ă de sistemele 

de refet¸ă cu originea în O ¸si respectiv O ′ , atunci putem scrie mai departe (1.83) 

astfel 

x1i1 + x2i2 + x3i3 = y1j1 + y2j2 + y3j3 + c1i1 + c2i2 + c3i3 

sau în forma echivalentă 

3 

xhih = 

h=1 

3 

ykjk + 

k=1 

Înmult¸ind ultima ecuat¸ie cu il, obt¸inem 

xl = cl + 

3 

chih. 

h=1 

(1.84) 

3 

αlkyk. (1.85) 

k=1 

Astfel, din (1.85), rezultă că pozit¸ia fiecărui punct P a corpului rigid este determinată 

odată cu coordonatele punctului O ′ ¸si matricei (αhk), ale cărui componente 

sunt cosinusurile unghiurilor axelor y1, y2, y3,. Folosind notat¸ia 

x = x1i1 + x2i2 + x3i3, y = y1j1 + y2j2 + y3j3, 

c = c1i1 + c2i2 + c3i3, A = (αhk) , 

este posibil să exprimăm ecuat¸iile (1.84), (1.85) în urmăoarea formă compactă 

x = c + 

3 

ykjk, (1.86) 

k=1 

x = c + Ay. (1.87) 

Rezultă din definit¸ia lui αhk, din a doua ecuat¸ie a relat¸iilor (1.82), că 

3 

k=1 

αikαjk = δij, unde δij = 

1 pentru i = j 

0 pentru i = j 

. (1.88)


În formă matriceală, (1.88) poate fi reprezentată astfel 

AA T = 1, unde 1 este matricea unitate. 

Prin urmare, matricea A = (αhk) este ortogonală, ¸si astfel reprezintă rotat¸ia, 

numită rotat¸ia tripletului (O ′ , y1, y2, y3) fat¸ă de sistemul de referint¸ă centrat în 

O ′ ¸si având axele paralele cu axele reperului x1, x2, x3. Deci, pentru a determina 

pozit¸ia unui rigid, este suficient să spunem configurat¸ia tripletului fix din el. 

Pentru aceasta, este necesar să definim în mod precis cele trei coordonate ale 

punctului O ′ ¸si cele nouă cosinusuri αhk, care, totu¸si, sunt legate între ele prin 

¸sase relat¸ii (1.88). 

Observat¸ie 1.2.1 Un rigid are ¸sase grade de libertate. Totu¸si, pentru a determina 

configurat¸ia tripletei solidare cu rigidul, avem nevoie de nouă parametri 

independent¸i. Ace¸sti parametri pot fi coordonatele originii O ′ ¸si trei unghiuri 

independente, astfel sunt unghiurile lui Euler, care, după cum vom demonstra, 

pot fi folosit¸i pentru a defini componentele matricei de rotat¸ie. 

În final, mi¸scarea sistemului rigid este cunoscută dacă mi¸scarea punctului 

O ′ ¸si legea de schimbare a cosinusurilor αhk sunt determinate; adică 

xh(t) = ch(t) + 

3 

αhk(t)yk, (1.89) 

unde yk sunt coordonatele punctului P relativ la sistemul de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) 

¸si care nu depind de timp. Astfel, mi¸scarea unui rigid poate fi considerată ca 

suma a două mi¸scări independente, o translat¸ie a unui punct al corpului plus o 

rotat¸ie în jurul acestui punct. 

Exercit¸iu 1.2.4 O lamă dreptunghiulară ABCD cu dimensiunile AB = 10 ¸si 

BC = 20 se mi¸scă astfel încât rămâne mereu paralelă cu un plan fixat x1Ox2. 

Mi¸scarea punctului O ′ (c1, c2, c3), de intersect¸ie a diagonalelor lamei, fat¸ă de un 

sistem de referint¸ă fix (O, x1, x2, x3) este descrisă de c1(t) = t 2 + 1, c2(t) = 

t 2 − 1, c3(t) = 2t. Reperul solidar cu rigidul (O ′ , y1, y2, y3) are o mi¸scare 

descrisă de j1 = cos θi1 + sin θi2, j2 = − sin θi1 + cos θi2, j3 = i3, ¸si θ = πt. Să 

se determine coordonatele x1, x2, x3 ale vârfurilor lamei la momentul t = 1. 

Solut¸ie. Fat¸ă de un sistem de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3), punctele A, B, C, D 

pot fi date (de exemplu) de A(−5, −10, 0), B(5, −10, 0), C(5, 10, 0), D(−5, 10, 0). 

La momentul t = 1, pozit¸ia sistemului de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) este dată de 

O ′ − O = 2i1 + 2i3 ¸si j1 = −i1, j2 = −i2, j3 = i3, ¸si astfel avem 

Deci, deducem că 

k=1 

x1i1 + x2i2 + x3i3 = 2i1 + 2i3 + y1j1 + y2j2. 

x1 = 2 − y1, x2 = −y2, x3 = 2. 

Prin urmare, înlocuid y1 = −5, y2 = −10 în relat¸iile de mai sus, deducem 

coordonatele punctului A fat¸ă de un sistem de referint¸ă (O, x1, x2, x3) ca fiind 

Ax(7, 10, 2). Similar, deducem că Bx(−3, 10, 2), Cx(−3, −10, 2) ¸si Dx(7, −10, 2).


1.2.3 Mi¸scări particulare ale rigidului 

Înainte de a studia mi¸scarea unui corp rigid în forma sa generală, vom considera 

câteva forme particulare ale mi¸scării. În plus, atunci când vorbim despre 

mi¸scare, ne vom referi întotdeauna la un interval de timp alocat pe care îl vom 

nota cu I ⊂ R. 

Mi¸scarea de translat¸ie 

Definit¸ie 1.2.7 Spunem că un rigid execută o mi¸scare de translat¸ie dacă orice 

reper solidar cu rigidul are o mi¸scare de translat¸ie fat¸ă de un reper fix în spat¸iu, 

adică matricea cosinusurilor directoare αhk este constantă în tot timpul mi¸scării. 

Deoarece 

xh(t) = ch(t) + 

¸si αhk ¸si yk sunt constante, deducem 

3 

k=1 

αhkyk, 

˙xh = ˙ch, ¨xh = ¨ch. 

Observat¸ie 1.2.2 În timpul unei mi¸scări de translat¸ie, toate punctele rigidului 

au aceea¸si viteză ¸si aceea¸si accelerat¸ie. Viteza comună a tuturor punctelor 

corpului poartă numele de câmpul vitezei de translat¸ie. Reciproca este de asemenea 

adevărată: dacă la fiecare moment toate punctele din rigid au aceea¸si viteză 

atunci rigidul execută o mi¸scare de translat¸ie. Astfel, o mi¸scare de translat¸ie 

poate fi definită prin formula 

vP (t) = u(t), t ∈ I, (1.90) 

unde vP reprezintă viteza unui punct arbitrar P , ¸si u este un vector care nu 

depinde de P , pe care îl vom alege să fie egal cu viteza v(O ′ ) a originii O ′ . 

Cu ajutorul relat¸iei (1.90), putem deduce următoare formulă pentru deplasarea 

relativă elementară a punctului P : 

dP = udt = dO ′ . 

Exemplu 1.2.1 Un paralelogram articulat ABCD (figure 1.14) este format din 

trei bare AB, BC ¸si CD. Punctele A ¸si D sunt fixe iar barele AB ¸si CD 

se pot roti în jurul lor, în timp ce barele sunt conenctate în punctele B ¸si C 

prin legături articulate. Astfel mi¸scarea barei BC este de translat¸ie, pentru că 

sistemul de referint¸ă (B, y1, y2) fixat de bara BC nu-¸si schimbă orientarea în 

raport cu sistemul fix de referint¸ă (A, x1, x2). 

Definit¸ie 1.2.8 O mi¸scare de translat¸ie se nume¸ste translat¸ie rectilinie (uniformă) 

dacă mi¸scarea unui punct arbitrar din rigid este rectilinie (uniformă).


x 2 

y 2 

A D 

B C 

Mi¸scarea de rotat¸ie 

Figura 1.14: 

Cosiderăm un corp rigid care cont¸ine o axă fixă care face obiectul următoarelor 

constrângeri: două puncte O ¸si O1 rămân fixe, ¸si deci, în particular, prin proprietăt¸ile 

corpurilor rigide, întregul segment cuprins între punctele O ¸si O1 

rămân fixe, de asemenea. 

Observat¸ie 1.2.3 Un corp rigid care cont¸ine o axă fixă formează un sistem 

cu numai un grad de libertate. Este posibil să alegem unghiul ϕ format de un 

plan fix al corpului care cont¸ine axa O − O1cu un alt plan fix care cont¸ine de 

asemenea axa fixă O − O1 (figura 1.15) ca unic parametru. 

Definit¸ie 1.2.9 Mi¸scarea unui corp rigid se nume¸ste de rotat¸ie dacă toate 

punctele care se află pe o dreaptă fixă din corp rămân fixe. Această dreaptă 

poartă numele de axă de rotat¸ie. 

Să alegem, ca un triplet fix în spat¸iu, un sistem de axe ortogonale cu originea 

în O ¸si axa x3 având aceea¸si direct¸ie ca (O1 −O). Ca de obicei, se alege tripletul 

ata¸sat corpului cu originea în O cu axa y3 să coincidedă cu x3, care deci va 

avea aceea¸si direct¸ie cu (O1 − O). Notând cu ϕ unghiul x1y1, putem exprima 

cosinusurile directoare αhk ca funct¸ii de acest unghi. Astfel avem 

(αhk) = 

⎛ 

⎝ 

x 1 

y 1 

cos ϕ − sin ϕ 0 

sin ϕ cos ϕ 0 

0 0 1 

⎞ 

⎠ . (1.91) 

Prin urmare, ecuat¸iile mi¸scării de rotat¸ie ale unui corp rigid au următoarea 

formă: 

x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2, 

x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.92) 

x3(t) = y3.


x 1 

O 1 

O 

ϕ 

x 3 ≡ y 3 

y 1 

Figura 1.15: 

y 2 

Folosind sistemul (1.92), putem concluziona că mi¸scare unui punct arbitrar din 

rigid este circulară. Ridicând la puterea a doua ¸si sumând primele două ecuat¸ii 

ale sistemului (1.92), obt¸inem 

x 2 

x 2 1(t) + x 2 2(t) = y 2 1 + y 2 2 = constant, 

x3 = constant. (1.93) 

Sistemul (1.93) denotă ecuat¸ia unui cerc. Prin urmare, viteza unui punct 

arbitrar dintr-un corp rigid care execută o mi¸scare de rotat¸ie este dată de formula: 

vP = ˙ϕi3 × (P − O), (1.94) 

unde O este un punct fix de pe axa de rotat¸ie. Vectorul ω = ˙ϕi3 poartă numele 

de viteza unghiulară a corpului rigid. 

Folosind (1.94), putem imediat să determinăm următoarea formulă pentru 

deplasarea elementara a lui P : 

Mi¸scarea de roto–translatie ¸ 

dP = dϕi3 × (P − O). 

Definit¸ie 1.2.10 Mi¸scarea unui corp rigid în care o dreaptă fixă a corpului se 

mi¸scă de-alungul unei drepte din spat¸iu se nume¸ste de roto–translat¸ie. 

Să alegem din nou tripletul (O ′ , y1, y2, y3) cu axa y3 având aceea¸si direct¸ie 

cu drepta fixă a corpului ¸si cu originea O ′ într-un punct de pe această dreaptă,


de coordonate O ′ = (0, 0, c3). Este clar că, în acest caz, αhk sunt date de relat¸ia 

(1.91), în timp ce ecuat¸iile de mi¸scare au următoarea formă: 

x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2, 

x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.95) 

x3(t) = c3(t) + y3. 

Astfel, deducem că proiect¸ia mi¸scării punctului P pe planul (x1, x2) este un 

cerc. Din (1.95), avem 

vP = ˙c3(t)i3 + ˙x1i1 + ˙x2i2. (1.96) 

În cele din urmă, luând în considerarea expresia vitezei de rotat¸ie, obt¸inem 

vP = ˙c3(t)i3 + ˙ϕi3 × (P − O ′ ) = v(O ′ ) + ω × (P − O ′ ). (1.97) 

Din (1.97), deducem formula pentru deplasarea elementară relativă: 

dP = dO ′ + dϕi3 × (P − O ′ ). (1.98) 

Mi¸scarea de roto–translat¸ie se numne¸ste elicoidală dacă viteza v(O ′ ) din 

expresia (1.97) este proport¸ională cu ω. 

Exercit¸iu 1.2.5 Un rigid laminat în formă dreptunghiulară ABCD se mi¸scă 

în plan în pozit¸ia A ′ B ′ C ′ D ′ , adică vârfurile A, B, C, D se deplasează în 

vârfurile A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , respectiv. Demonstrat¸i că mi¸scarea se poate scrie ca o 

sumă a unor mi¸scări de translat¸ie ¸si de rotat¸ie în jurul unui punct corespunzător 

al rigidului. 

Solut¸ie. Fie E un punct în dreptunghiul ABCD care corespunde punctului 

În primul rând se execută translat¸ia din punctul 

E ′ din dreptunghiul A ′ B ′ C ′ D ′ . 

E în punctul E ′ , astfel că dreptunghiul ABCD devine A1B1C1D1. Mai departe, 

folosind pe E ′ ca punct de rotat¸ie, executăm rotat¸ia de unghi θ a dreptunghiului 

A1B1C1D1, unde θ este unghiul dintre dreptele suport ale laturilor AB ¸si 

respectiv A ′ B ′ . Astfel mi¸scarea este compusă dintr-o translat¸ie ¸si o rotat¸ie. 

1.2.4 Unghiurile lui Euler 

Presupunem că, pe lângă sistemul de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) ata¸sat rigidului, 

este dat un nou sistem de referint¸ă (O ′ , z1, z2, z3), cu originea în acela¸si punct O ′ , 

dar care are axele paralele cu axele x1, x2, x3 (Figura 1.16). Configurat¸ia corpu- 

lui rigid se va defini din nou în funct¸ie de coordonatele lui O ′ ¸si de cosinusurile 

directoare ale axelor y1, y2, y3 în funct¸ie de tripletul z1, z2, z3. În mod normal, 

ace¸sti cosinu¸si directori coincid cu αhk. Astfel, matricea de rotat¸ie A = (αhk) 

descrie complet orientarea relativă a celor două sisteme. Matricea de rotat¸ie 

A cont¸ine trei unghiuri independente. Sunt multe posibilităt¸i de a alege aceste


x 1 

x 3 

O 

z 1 

ψ 

n 

y 3 

ϕ 

θ 

O ′ 

y 1 

Figura 1.16: 

z 3 

unghiuri. O posibilitate foarte populară este reprezentată de schema de rotat¸ie 

a lui Euler ( 10 ). 

Fie drepata n, numită linia nodurilor, obt¸inută ca intersect¸ia dintre planul 

(O ′ , y1, y2) cu planul (O ′ , z1, z2). Alegem orientarea acestei drepte astfel încât 

(O ′ , z3), (O ′ , y3) ¸si n să formeze un triplet compatibil cu regula mâinii drepte. 

Definit¸ie 1.2.11 Numim unghiul de nutat¸ie θ unghiul format de (O ′ , y3) ¸si 

(O ′ , z3); de asemenea numim unghiul de precesie ψ unghiul format de (O ′ , z1) 

cu n; ¸si în final, numin unghiul de rotat¸ie proprie ϕ unghiul format de n cu 

(O ′ , y1). Cele trei unghiuri θ, ψ ¸si ϕ poartă numele de unghiurile lui Euler, ¸si 

direct¸iile lor pozitive se găsesc cu regula mâinii drepte aplicată pentru n, (O ′ , z3) 

¸si (O ′ , y3). 

Observat¸ie 1.2.4 După ce cele două sisteme (O ′ , y1, y2, y3) ¸si (O ′ , z1, z2, z3) 

au fost date, unghiurile lui Euler se determină în mod unic. Reciproc, dacă 

se dă tripletul (O ′ , z1, z2, z3) ¸si unghiurile lui Euler θ, ψ, ϕ, atunci tripletul 

(O ′ , y1, y2, y3) se determină în mod unic. Prin urmare, coeficient¸ii αhk pot fi 

determinat¸i din moment ce ψ determină linia nodurilor, θ determină planul care 

cont¸ine pe n, ¸si ϕ determină planul definit de (O ′ , y3) ¸si (O ′ , y1). 

Unghiurile lui Euler sunt generate prin următoarea serie de rotat¸iiare, care 

duc tripletul (O ′ , z1, z2, z3) în tripletul (O ′ , y1, y2, y3) : 

I. Prima rotat¸ie este de unghi ψ în sens invers acelor de ceasornic în jurul 

axei z3 ¸si transformă sistemul (z1, z2, z3) în sistemul (z ′ 1, z ′ 2, z ′ 3) = (z ′ 1, z ′ 2, z3). 

10 Euler (1776). 

x 2 

P 

y 2 

z 2


Din moment ce rotat¸ia are loc în planul z1O ′ z2, matricea transformării este 

⎛ 

cos ψ sin ψ 0 

⎞ 

Aψ = ⎝ − sin ψ cos ψ 0 ⎠ (1.99) 

0 0 1 

¸si 

¸si 

z ′ = Aψz, (1.100) 

i1 = cos ψi ′ 1 − sin ψi ′ 2, 

i2 = sin ψi ′ 1 + cos ψi ′ 2, (1.101) 

i3 = i ′ 3. 

Viteza unghiulară, ωψ care corespunde acestei rotat¸ii infinitezimale în jurul axei 

care-l cont¸ine pe i3 este dată de 

ωψ = ˙ ψi3. (1.102) 

II. A doua rotat¸ie este de unghi θ în sens invers acelor de ceasornic în jurul 

axei z ′ 1 ¸si transformă (z ′ 1, z ′ 2, z ′ 3) în (z ′′ 

1 , z ′′ 

2 , z ′′ 

3 ) = (z ′ 1, z ′′ 

2 , y3). Pentru că rotat¸ia 

are loc în planul z ′ 2O ′ z ′ 3, în jurul liniei nodurilor, matricea transformării este 

¸si 

¸si 

⎛ 

Aθ = ⎝ 

1 0 0 

0 cos θ sin θ 

0 − sin θ cos θ 

⎞ 

⎠ (1.103) 

z ′′ = Aθz ′ , (1.104) 

i ′ 1 = i ′′ 

1, 

i ′ 2 = cos θi ′′ 

2 − sin θi ′′ 

3, (1.105) 

i ′ 3 = sin θi ′′ 

2 + cos θi ′′ 

3. 

Dcaă notăm prin n versorul liniei nodurilor, adică n = i ′ 1, atunci vectorul 

vitezei unghiulare, ωθ corespunzător acestei rotat¸ii infinitezimale este dat de 

ωθ = ˙ θn = ˙ θi ′ 1. (1.106) 

III. A treia rotat¸ie este de unghi ϕ în sens invers acelor de ceasornic în jurul 

axei z ′′ 

3 ¸si transformă sistemul (z ′′ 

1 , z ′′ 

2 , z ′′ 

3 ) în sistemul (y1, y2, y3). Pentru că 

rotat¸ia are loc în planul z ′′ 

1 O ′ z ′′ 

2 , matricea transformării este 

⎛ 

Aϕ = ⎝ 

cos ϕ sin ϕ 0 

− sin ϕ cos ϕ 0 

0 0 1 

⎞ 

⎠ (1.107)


iar 

¸si 

y = Aϕz ′′ , (1.108) 

i ′′ 

1 = cos ϕj1 − sin ϕj2, 

i ′′ 

2 = sin ϕj1 + cos ϕj2, (1.109) 

i ′′ 

3 = j3. 

Pentru că rotat¸ia sistemului are loc în jurul axei j3, rezultă că viteza unghiulară 

este dată de 

ωϕ = ˙ϕj3. (1.110) 

Prin compunerea celor trei rotat¸ii prezentate mai sus, deducem că transformarea 

completă din sistemul zi în sistemul yi este dată de 

¸si matricea de rotat¸ie A este 

y = Aϕz ′′ = AϕAθz ′ = AϕAθAψz, (1.111) 

A = AϕAθAψ. (1.112) 

T¸ inând cont de relat¸iile (1.99), (1.103), (1.107) ¸si (1.112), deducem că această 

matrice are următoarele componente 

α11 = cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ, 

α21 = − sin ϕ cos ψ − cos θ sin ψ cos ϕ, 

α31 = sin θ sin ψ, 

α12 = cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ, 

α22 = − sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ, 

α32 = − sin θ cos ψ, 

α13 = sin ϕ sin θ, α23 = cos ϕ sin θ, α33 = cos θ. (1.113) 

Pentru ceea ce urmează, este cel mai convenabil să exprimăm cele trei viteze 

unghiulare în funct¸ie de sistemul ata¸sat corpului, adică în funct¸ie de versorii 

bazei j1, j2, j3. Astfel, prin intermediul relat¸iilor (1.101), (1.102), (1.105), 

(1.106), (1.109) ¸si (1.110), avem 

ωψ = ˙ ψ (sin θ sin ϕj1 + sin θ cos ϕj2 + cos θj3) , (1.114) 

ωθ = ˙ θ (cos ϕj1 − sin ϕj2) , (1.115) 

ωϕ = ˙ϕj3. (1.116) 

Exercit¸iu 1.2.6 În schema de rotat¸ie a lui Euler, găsit¸i relat¸iile dintre vectorii 

unitari i1, i2, i3 ¸si j1, j2, j3.


Solut¸ie. T¸ inând cont de rotat¸iile efectuate prin schema lui Euler, date de 

relat¸iile (1.101), (1.105) ¸si (1.109), deducem că 

i1 = (cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ) j1 − (sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cos ϕ) j2 + 

+ sin θ sin ψj3, 

i2 = (cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ) j1 + (− sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ) j2 − 

− sin θ cos ψj3, 

Din aceste relat¸ii, vom deduce că 

i3 = sin ϕ sin θj1 + cos ϕ sin θj2 + cos θj3. (1.117) 

j1 = (cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ) i1 + (cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ) i2 + 

+ sin ϕ sin θi3, 

j2 = − (sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cos ϕ) i1 + (− sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ) i2 + 

+ cos ϕ sin θi3, 

j3 = sin θ sin ψi1 − sin θ cos ψi2 + cos θi3. (1.118) 

Exercit¸iu 1.2.7 În schema de rotat¸ie a lui Euler, exprimat¸i vectorii viteză 

unghiulară ωψ, ωθ, ωϕ în sistemul fix de coordonate. 

Solut¸ie. Considerând defiit¸iile unghiului de presesie ψ ¸si a vectorilui unitate 

n, avem (vezi Figura 1.16) 

n = cos ψi1 + sin ψi2. 

Astfel, relat¸iile (1.102), (1.106), (1.110) ¸si (1.118), ne conduc la 

ωψ = ˙ ψi3, ωθ = ˙ θ (cos ψi1 + sin ψi2) , 

ωϕ = ˙ϕ (sin θ sin ψi1 − sin θ cos ψi2 + cos θi3.) (1.119) 

Exercit¸iu 1.2.8 Transformarea din sistemul fix de coordonate (O ′ , z1, z2, z3) 

în sistemul ata¸sat corpului (O ′ , y1, y2, y3) este descrisă prin următoarea matrice 

de rotat¸ie 

A = 1 

⎛ 

⎝ 

8 

2 √ 6 − √ 2 2 √ 6 + √ 2 2 √ 3 

− √ 6 − 2 √ 2 √ 6 − 2 √ 2 6 

2 √ 6 −2 √ 6 4 

Utilizând schema de rotat¸ie a lui Euler de mai sus, găsit¸i unghiurile lui Euler 

care descriu orientarea relativă a corpului în sistemele de mai sus. 

⎞ 

⎠ .


Solut¸ie. Transformarea între două baze corespondente este dată de 

i1 = 

√ 

2 

 

2 

8 

√ √ 

3 − 1 j1 − 3 + 2 j2 + 2 √ i2 = 

 

3j3 , 

√ 

2 

 

2 

8 

√ √ 

3 + 1 j1 + 3 − 2 j2 − 2 √ i3 = 

 

3j3 , 

1 

√ 

3j1 + 3j2 + 2j3 . 

4 

Astfel, vectorul director unitar al liniei nodurilor este 

Apoi, avem 

n = i3 × j3 1 

√ 

= 3j1 − j2 . 

|i3 × j3| 2 

cos θ = i3 · j3 = 1 

2 , cos ψ = i1 · n = 

¸si deci unghiurile lui Euler sunt θ = π 

3 

1.2.5 Starea de mi¸scare 

√ 

2 

2 , cos ϕ = j1 

√ 

3 

· n = 

2 , 

π π 

, ψ = 4 , ϕ = 6 . 

După cum am observat deja, mi¸scarea se raportează în permanent¸ă la un anumit 

interval de timp. În particular, este de asemenea important să cunoa¸stem 

comportarea corpului la un timp t din intervalul I. 

Definit¸ie 1.2.12 Numim stare de mi¸scare sau stare cinetică a rigidului la timpul 

t, mult¸imea vitezelor tuturor punctelor singulare ale corpului la acel moment. 

Definit¸ie 1.2.13 Numim stare de mi¸scare de translat¸ie sau stare cinetică de 

translat¸ie la momentul t următoarea distribut¸ie a vitezelor pentru un corp rigid 

vP (t) = vO ′(t), (1.120) 

adică vitezele tuturor punctelor corpului la momentul t sunt egale cu viteza punctului 

particular O ′ . 

Observat¸ie 1.2.5 Dacă mi¸scare corpului rigid este una în care starea de mi¸scare 

la fiecare moment este de translat¸ie, atunci mi¸scarea este de asemenea de translat¸ie 

¸si reciproc. 

Definit¸ie 1.2.14 Numim stare de mi¸scare de rotat¸ie sau stare cinetică de rotat¸iela 

momentul t următoarea distribut¸ie a vitezelor pentru un corp rigid: 

vP (t) = ω(t) × (P − O ′ ), (1.121) 

adică distribut¸ia vitezelor la momentul t este aceea¸si ca la mi¸scare de rotat¸ie. 

Vectorul ω este numit viteză unghiulară instantanee.


Observat¸ie 1.2.6 Dacă mi¸scarea unui rigid este de rotat¸ie, atunci la fiecare 

moment corpul se află într-o stare cinetică de rotat¸ie. Reciproca acestei remarci 

nu este adevărată în general. 

Într-adevăr, mai târziu, vom arăta că o mi¸scare rigidă plană sau un corp 

rigid cu un punct fix la fiecare moment se află într-o stare cinetică de rotat¸ie, 

chiar dacă mi¸scarea nu este în general de rotat¸ie. 

Definit¸ie 1.2.15 Numim stare de mi¸scare de roto–translat¸ie sau stare cinetică 

de roto–translat¸ie sau stare elicoidală la momentul t următoarea distribut¸ie a 

vitezelor pentru un corp rigid: 

vP (t) = vO ′(t) + ω(t) × (P − O′ ), (1.122) 

unde O ′ este un punctcare are viteza vO ′ paralelă cu ω. 

Prin urmare, distribut¸ia vitezelor este aceea¸si ca în cazul mi¸scării de roto– 

translat¸ie. 

Dacă un corp rigid se rote¸ste în jurul unui punct fix O, atunci, la fiecare 

moment, este o linie L de puncte din corp sau dintr-o prelungire a sa care sunt 

instantaneu în repaus. Linia L poartă numele de axă instantanee de rotat¸ie a 

corpului. Se poate arăta că linia L trece prin O ¸si este paralelă cu ω. Rezultă că, 

în orice moment, mi¸scarea unui corp rigid cu un punct fix poate fi considerată 

o rotat¸ie în jurul unei linii care trece printr-un punct fix. 

Dacă rigidul nu are nici un punct fix, atunci în general nu există nici o linie 

de puncte care instantaneu să se afle în repaus, dar există o linie L de puncte 

care se mi¸scă instantaneu de-alungul liniei L, adică o linie L de-alungul cărei nu 

există mi¸scare perpendiculară pe L. Axa care trece prin O ′ ¸si care este paralelă 

cu ω poartă numele de axă instantanee de roto–translat¸ie. Punctele acestei linii 

au vitezele paralele cu viteza unghiulară ω, presupusă a fi nenulă. Rezultă că, 

în orice moment, mi¸scarea unui corp rigid, când nici un punct nu este fix, poate 

fi considerată instantaneu o mi¸scare elicoidală: translat¸ia de-alungul unei axe ¸si 

rotat¸ia în jurul ei. 

Exercit¸iu 1.2.9 Un con se rostogole¸ste fără să alunece pe o suprafat¸ă dură 

perfect orizontală. Găsit¸i axa instantanee de roto-translat¸ie a conului. 

Solut¸ie. Avem un corp rigid cu un punct fix. Alegem ca originile sistemului 

ata¸sat corpului ¸si a sistemului fix să coincidă, aceasta înseamnă O ≡ O ′ . Alegem 

sistemul fix astfel încât planul x1Ox2 să coincidă cu planul orizontal ¸si ca Ox3 

să corespundă cu direct¸ia verticală. Axa y1 ata¸ată corpului este aleasă astfel 

încât să fie axă de simetrie pentru con ¸si planul y2Oy3 să fie ortogonal cu Oy1. 

Apoi, folosind schema de rotat¸ie a lui Euler, obt¸inem ϕ = constant ¸si, mai mult, 

ψ = θ sin ϕ pentru că rostogolirea este fără alunecare. Astfel, viteza unghiulară 

pentru această mi¸scare este dată de ω = ˙ θ (sin ϕi3 + j1). Din moment ce avem 

j1 = cos ϕn − sin ϕi3, unde n este versorul liniei nodurilor, rezultă că ω = 

˙θ cos ϕn ¸si deci axa instantanee de rotat¸ie are ecuat¸ia P − O = λω, λ ∈ R, adică 

P −O = λ ˙ θ cos ϕn. Prin urmare, axa instantanee de rotat¸ie este linia de contact 

dintre con ¸si planu orizontal.


1.2.6 Formula lui Poisson 

Să determină starea generală de mi¸scare pentru un corp rigid. În acest scop, 

vom diferent¸ia ecuat¸ia (1.83) în raport cu timpul pentru a obt¸ine 

d 

vP (t) = vO ′(t) + 

dt (P − O′ ). (1.123) 

Observând că P − O ′ = y1j1 + y2j2 + y3j3, unde yi (i = 1, 2, 3) nu se schimbă în 

timp, putem scrie (1.123) în formă următoare: 

vP (t) = vO ′(t) + 

3 

h=1 

yh 

djh 

. (1.124) 

dt 

Teoremă 1.2.1 (Formula lui Poisson) Fie j1, j2, j3 un triplet ortonormat 

de vectori care variază în timp. Atunci, există un vector ω depinzând de timp 

astfel încât 

djh 

dt (t) = ω(t) × jh(t), h = 1, 2, 3. (1.125) 

Demonstrat¸ie. Pentru că jh are modulul constant, adică 

jh · jh = 1 pentru orice h = 1, 2, 3, 

printr-o diferent¸iere directă în raport cu timpul, obt¸inem 

djh 

dt · jh = 0 pentru orice h = 1, 2, 3. 

Pentru că djh/dt ¸si jh sunt ortogonali, rezultă din egalitatea din urmă că există 

o familie de vectori ωh (astfel încât componentele lor de-alungul jh pot fi alese 

în mod arbitrar) care satisface (vezi A.6, (A.41)) 

djh 

dt = ωh × jh, pentru orice h = 1, 2, 3. (1.126) 

Folosindu-ne de posibilitatea de a alege în mod arbitrar pe ωh, vom arăta că 

există un ω astfel încât ωh = ω pentru h = 1, 2, 3. În acest scop, pentru că 

jh · jk = 0 pentru h = k, deducem că 

 

 

djh 

djk 

· jk = −jh · . (1.127) 

dt 

dt 

Astfel, folosind (1.126) ¸si pentru h = 1, k = 2, din (1.127) obt¸inem 

ω1 × j1 · j2 = −j1 · ω2 × j2. 

Folosind proprietăt¸ile produsului mixt, din ultima egalitate rezultă că 

ω1 · j3 = ω2 · j3.


Mai mult, pentru că de-alungul lui j1 componenta ω1 este arbitrară, putem alege 

ca ea să fie egală cu componenta ω2 de-alungul lui j1, astfel ca (ω1·j1) = (ω2·j1). 

În mod analog, pentru că ω2 poate fi ales arbitrar de-alungul lui j2, vom alege 

ω2 astfel ca (ω2 · j2) = (ω1 · j2). 

În acest mod, ω1 ¸si ω2 au acelea¸si componente de-alungul j1, j2, j3. Să alegem 

acum ω3 de-alungul j3 să fie egală cu ω1 = ω2 de-alungul j3. Atunci, pentru 

h = 1, k = 3, din (1.127), avem ω1 × j1 · j3 = −j1 · ω3 × j3, ¸si în consecint¸ă, 

ω1 · j2 = ω3 · j2. În mod analog, pentru h = 2, k = 3 (1.127), putem arăta că 

ω2 · j1 = ω3 · j1. Astfel, putem concluziona că 

ω1 = ω2 = ω3, 

¸si notăm acest vector comun cu ω. Prin urmare, din (1.126), obt¸inem formula 

lui Poisson. 

În cele din urmă, din (1.124) ¸si (1.125), obt¸inem expresia generală a câmpului 

viteză: 

vP (t) = vO ′(t) + ω(t) × (P − O′ ). (1.128) 

Observat¸ie 1.2.7 Cea mai generală stare de mi¸scare a corpului rigid poate 

fi reprezentată în forma (1.128) ¸si poartă numele de formula fundamentală a 

cinematicii sistemelor rigide. Vectorul ω este unic ¸si nu depinde pe punctul P . 

De fapt, dacă doi vectori ω ¸si ω ′ există astfel încât (1.128) este satisfăcută, 

atunci ar trebui să avem 

(ω − ω ′ ) × (P − O ′ ) = 0 

pentru toate punctele P ceea ce implică faptul că ω = ω ′ . 

Vectorul ω nici nu depinde de punctul O ′ . Într-adevăr, dacă alegem alt 

punct O ′′ , rezultă din (1.128) că 

Utilizând încă o dată (1.128), avem 

vO ′′ = vO ′ + ω(t) × (O′′ − O ′ ). 

vP = vO ′′ − ω × (O′′ − O ′ ) + ω × (P − O ′ ) = vO ′′ + ω × (P − O′′ ). 

Putem de asemenea să concluzionăm, din (1.128), că fiecare stare de mi¸scare 

a rigidului este compusă dintr-o stare de mi¸scare de translat¸ie ¸si dintr-o stare 

de mi¸scare de rotat¸ie. Putem vorbi de starea de roto–translat¸ie pentru că viteza 

vO ′ nu este în general paralelă cu ω. 

Putem să obt¸inem formula (1.128) pentru viteza punctelor unui sistem rigid 

folosind relat¸ia (1.87) 

x(t) = c(t) + A(t)y. (1.129) 

Într-adevăr, prin diferent¸ierea relat¸iei (1.129) în raport cu timpul, obt¸inem 

˙x(t) = ˙c(t) + ˙A(t)y. (1.130)


Pentru că A este o matrice ortogonală, avem că A −1 = A T . Astfel, rezolvând 

ecuat¸ia (1.129) pentru y ¸si înlocuind rezultatul în (1.130), avem 

˙x(t) = ˙c(t) + ˙A(t)A T (t) [x(t) − c(t)] , (1.131) 

unde ˙AA T este o matrice antisimetrică. Pentru a vedea acest lucru, vom 

diferent¸ia egalitatea AA T = 1, ¸si astfel avem 

Pentru că A T · = ( ˙A T ), din (1.132) deducem 

˙AA T + A A T · = 0. (1.132) 

˙AA T = −A ˙A T 

= − ˙AA T T . 

În plus, pentru că matricea ˙AA T ω1i1 + ω2i2 + ω3i3 astfel încât 

este antisimetrică, există un vector ω = 

˙AA T ⎛ 

= ⎝ 0 −ω3 

ω3 0 

ω2 

−ω1 

⎞ 

⎠ . (1.133) 

−ω2 ω1 0 

În plus, considerând x−c = P −O ′ , ˙x = vP , ˙c = vO ′, din (1.131) concluzionăm 

vP = vO ′ + ω × (P − O′ ). (1.134) 

Observat¸ie 1.2.8 Din (1.128), rezultă că cea mai generală expresie pentru deplasarea 

elementară arbitrară a unui rigid este dată de 

1.2.7 Teorema lui Mozzi 

dP = dO ′ + ωdt × (P − O ′ ). 

Din formula fundamentală a sistemelor rigide (1.128), rezultă că starea de 

mi¸scare a unui corp rigid poate fi totodeauna scrisă ca o sumă de stări de mi¸scare 

de translat¸ie ¸si de rotat¸ie. Cu alte cuvinte, nu rezultă din această formulă că 

starea de mi¸scare a unui rigid, cea mai generală este cea de roto–translat¸ie. 

Această concluzie se bazează pe următoarea teoremă. 

Teoremă 1.2.2 (Mozzi) La fiecare moment, cea mai generală stare de mi¸scare 

pentru un sistem rigid, este cea de roto–translat¸ie sau elicoidală. În particular, 

poate fi de translat¸ie sau rotat¸ie. 

Demonstrat¸ie. Dacă avem ω = 0 în formula (1.128) atunci viteza vO ′ 

poate fi scrisă întotdeauna ca sumă a două componente: prima este aleasă să 

fie paralelă cu ω ¸si este notată prin v 

O ′(t), ¸si cea cealaltă este ortogonală cu ω 

¸si o notăm cu v⊥ O ′(t). Reamintim că, dând doi vectori ortogonali v⊥ O ′(t) ¸si ω, va


exista întotdeauna un vector notat prin O ′ − O ′′ , care este ortogonal cu v ⊥ O ′(t), 

astfel încât 

v ⊥ O ′(t) = ω × (O′ − O ′′ ). (1.135) 

De aceea, din (1.128), obt¸inem 

vP (t) = v 

O ′ + v⊥ O ′ + ω × (P − O′ ). 

Prin intermediul relat¸iei (1.135), din ultima egalitate rezultă că 

vP (t) = v 

O ′ + ω × (P − O′′ ). (1.136) 

Dacă P = O ′′ , putem conluziona din (1.136) că v ′′ O ′ este paralel cu ω ¸si egal 

cu vO ′′. Prin urmare, starea de mi¸scare exprimată de către (1.136) este una de 

roto–translat¸ie. 

Dacă ω(t) = 0, atunci rezultă că starea de mi¸scare la momentul t este de 

translat¸ie. În cele din urmă, dacă v 

O ′(t) = 0, atunci va rezulta că atarea de 

mi¸scare la momentul t este de rotat¸ie. 

Observat¸ie 1.2.9 Dacă, în timpul mi¸scării unui corp rigid, un anumit punct 

O ′ rămâne fix, t¸inând cont de faptul că vO ′ = 0, din (1.128) concluzionăm 

vP (t) = ω(t) × (P − O ′ ). (1.137) 

Astfel, starea relativă de mi¸scare este de rotat¸ie la fiecare moment t. Cu toate 

acestea, este clar că mi¸scarea nu este, în general, de rotat¸ie, pentru că vectorul 

ω(t) î¸si poate schimba direct¸ia în timp. 

Studiul mi¸scării unui rigid se poate exprima întotdeauna fat¸ă de sistemul 

(O ′ , z1, z2, z3) cu originea în O ′ ¸si cu axele z1, z2, z3 paralele cu axele din tripletul 

x1, x2, x3 fixat în spat¸iu. În raport cu acest sistem, mi¸scarea poate fi văzută 

ca o mi¸scare a unui copr rigid cu un punct fix. Din (1.137), pentru starea de 

mi¸scare de rotat¸ie, obt¸inem 

v ′ P = ω × (P − O ′ ), 

unde v ′ P este viteza punctului P în raport cu (O′ , z1, z2, z3). În plus, vectorul ω 

este acela¸si ca în (1.128), din moment ce versorii tripletului (O ′ , z1, z2, z3) coincid 

cu cei din (O, x1, x2, x3). De aceea, vectorul ω din formula (1.128) define¸ste 

starea de mi¸scare de rotat¸ie a corpului în raport cu sistemul de coordonate 

(O ′ , z1, z2, z3). 

Observat¸ie 1.2.10 Din moment ce avem identitatea 

ω × (ω × v0) = (ω · v0) ω − ω 2 v0, 

deducem că, pentru viteze unghiulare nenule, 

v0 = 

ω · v0 

ω 2 

ω − 1 

ω 2 ω × (ω × v0) . (1.138)


Substituind relat¸ia (1.138) în (1.122), obt¸inem următoarea formă pentru câmpul 

viteză: 

ω · v0 

v = 

ω2 

ω + ω× P − O ′ − 1 

 

(ω × v0) , 

ω2 (1.139) 

care este o suma a două componente: una este paralelă cu viteza unghiulară 

iar cealaltă se află într-un plan ortogonal pe ω. Componenta ω·v0 

ω2 ω poartă 

numele de viteza de lunecare, în timp ce cealaltă componentă, perpendiculară 

pe ω, reprezintă o viteză de rotat¸ie. Din moment ce viteza punctelor de pe 

axa instantanee de roto–translat¸ie L este paralelă cu viteza unghiulară ω(t), din 

relat¸ia (1.139) deducem că ecuat¸ia vectorială a dreptei L este 

P − O ′ = 1 

ω 2 (ω × v0) + λω(t), λ ∈ R. (1.140) 

Luând produsul interior a relat¸iei (1.139) cu ω, obt¸inem următoarea proprietate 

v(t) · ω(t) = v0(t) · ω(t), (1.141) 

adică produsul v(t) · ω(t) este independent de punctul P pe axa instantanee de 

roto–translat¸ie. 

Axa instantanee de roto–translat¸ie a unui copr rigid de obicei se schimbă 

în timp ¸si nu este compusă dintr-o mult¸ime de puncte fixe din rigid. Locurile 

geometrice ale axei instantanee de roto–translat¸ie în raport cu sistemele de 

coordonate fix ¸si mobil sunt două suprafet¸e plane, ce poartă numele de axoid 

fix ¸si mobil, respectiv. 

Definit¸ie 1.2.16 Mi¸scarea unui corp rigid se nume¸ste mi¸scare rigidă plană 

dacă vitezele puntelor corpului sunt întotdeauna paralele cu un plan fix π. 

Teoremă 1.2.3 Pentru cazul mi¸scării rigide plane, starea de mi¸scare este totdeauna 

de rotat¸ie ¸si de translat¸ie. 

Demonstrat¸ie. Alegem ca sistemul de referint¸ă (O, x1, x2, x3) să fie fix în 

spat¸iu, astfel încât axa x3 să fie ortogonală pe π. Sistemul de axe ata¸sat corpului 

(O ′ , y1, y2, y3) poate fi ales totdeauna astfel încât axa y3 să aibe accea¸si direct¸ie 

precum x3. Prin urmare, versorul j3 este constant. Dacă ω = 0, din formula lui 

Poisson avem că 

dj3 

dt = ω × j3 = 0. 

Astfel, ω trebuie să fie paralel cu j3, în timp ce viteza vO ′ din (1.128) este 

ortogonală pe j3. Prin urmare, luând în considerare că în aceste ipoteze există 

un punct O ′′ astfel încât 

din (1.128) obt¸inem 

vO ′ = ω × (O′ − O ′′ ), 

vP (t) = ω(t) × (O ′ − O ′′ ) + ω(t) × (P − O ′ ) = 

= ω(t) × (P − O ′′ ), (1.142)


care este o stare de mi¸scare de rotat¸ie. 

Dacă, din contra, ω = 0, atunci, din formula fundamentală a cinematicii 

sistemelor rigide (1.128), imediat rezultă că aceasta corespunde unei starări de 

mi¸scare de translat¸ie. 

Observat¸ie 1.2.11 Amintim că formula fundamentală a cinematicii sistemelor 

rigide (1.128) poate fi de asemenea scrisă sub forma (1.124), adică 

dj1 dj2 dj3 

vP (t) = vO ′(t) + y1 + y2 + y3 . (1.143) 

dt dt dt 

Dincolo de definit¸ia stării de mi¸scare ¸si, în consecint¸ă, dincolo de distribut¸ia 

vitezelor unui corp rigid, este folositor să discutăm despre mult¸imea accelerat¸iilor 

punctelor unui corp rigid. Pentru aceasta, vom diferent¸ia ecuat¸ia (1.128) în raport 

cu timpul, pentru a obt¸ine 

aP (t) = d2O ′ dω 

+ 

dt2 dt × (P − O′ ) + ω × d(P − O′ ) 

. (1.144) 

dt 

Folosind încă o dată ecuat¸ia (1.128) scrisă în forma: 

obt¸inem 

d(P − O ′ ) 

dt 

= ω × (P − O ′ ), (1.145) 

aP (t) = d2O ′ dω 

+ 

dt2 dt × (P − O′ ) + ω × [ω × (P − O ′ )] , (1.146) 

unde primul termen reprezintă accelerat¸ia punctului O ′ , al doilea apare datorită 

variat¸iei vectorului ω, iar al treilea termen poate fi exprimat sub următoarea 

formă: 

ω × [ω × (P − O ′ )] = ω × [ω × ((P − P ∗ ) + (P ∗ − O ′ ))] = 

= ω × [ω × (P − P ∗ )] , (1.147) 

unde P ∗ este proiect¸ia lui P pe axa care trece prin O ′ ¸si este paralel ω. Folosind 

proprietatea dublului produs vectorial , din (1.147) obt¸inem 

ω × [ω × (P − O ′ )] = [ω · (P − P ∗ )]ω − ω 2 (P − P ∗ ) = 

= −ω 2 (P − P ∗ ). (1.148) 

Din pricina acestui rat¸ionament, ultimul termen în (1.146) reprezintă accelerat¸ia 

punctului P într-o mi¸scare uniformă de rotat¸ie în jurul axei care trece prin O ′ 

¸si este paralelă cu ω. În acest caz, obt¸inem 

d2O ′ 

= 0, 

dt2 dω 

dt 

= 0.


Observat¸ie 1.2.12 Distribut¸ia accelerat¸iilor pentru un corp rigid poate fi exprimată 

nu numai prin ecuat¸ia (1.146), ci ¸si printr-o relat¸ie de tipul (1.143), 

adică 

aP (t) = aO ′(t) + y1 

d2j1 + y2 

dt2 d2j2 + y3 

dt2 d2j3 . (1.149) 

dt2 Definit¸ie 1.2.17 Punctul Q ce apart¸ine rigidului în care accelerat¸ia se anulează 

la momentul t poartă numele de pol al accelerat¸iei. 

Teoremă 1.2.4 Dacă ω × ˙ω = 0, atunci există un singur pol Q al accelerat¸iei 

dat de 

Q−O ′ = 

1 

(ω × ˙ω) 2 

2 

ω × ˙ω+ω ω · aO ′ 

 

ω + ( ˙ω · aO ′) ˙ω + (ω · aO ′) ˙ω × ω . 

(1.150) 

Demonstrat¸ie. Să notăm prin Q polul accelerat¸iei, ceea ce înseamnă că 

aQ(t) = 0, ¸si să considerăm ρ = Q−O ′ . Atunci, relat¸ia (1.146) oferă următoarea 

ecuat¸ie pentru determinarea lui ρ = Q − O ′ : 

˙ω × ρ + ω × (ω × ρ) = −aO ′. (1.151) 

Demonstrăm faptul că această ecuat¸ie determină un unic ρ. 

observăm că, având în ipoteză faptul că ω × ˙ω = 0, avem 

În acest scop, 

ω × ˙ω · (ω × ˙ω) = (ω × ˙ω) 2 > 0, (1.152) 

¸si deci tripletul {ω, ˙ω, ω × ˙ω} constituie o bază în V . Astfel, putem descompune 

ρ în baza {ω, ˙ω, ω × ˙ω} după cum urmează: 

T¸ inând cont de (1.152), din (1.153), obt¸inem 

λ1 = 

λ2 = 

λ3 = 

În plus, prin intermediul relat¸iei (1.151), obt¸inem 

ρ = λ1ω + λ2 ˙ω + λ3ω × ˙ω. (1.153) 

1 

2 

(ω × ˙ω) 

˙ω × (ω × ˙ω) · ρ, 

1 

2 (ω × ˙ω) × ω · ρ, 

(ω × ˙ω) 

1 

2 ω × ˙ω · ρ. 

(ω × ˙ω) 

(1.154) 

˙ω × (ω × ˙ω) · ρ = ω × ˙ω · aO ′ + ω2 (ω · aO ′) , 

(ω × ˙ω) × ω · ρ = ˙ω · aO ′, 

ω × ˙ω · ρ = − ˙ω · aO ′. (1.155) 

Dacă înlocuim relat¸ia (1.155) în (1.154) ¸si rezultatul în (1.153), atunci obt¸inem 

relat¸ia (1.150) ¸si astfel demonstrat¸ia este completă.


x 1 

O 1 

O 

x 3 

θ 

A 

A* 

G 

Figura 1.17: 

B* 

B 

Observat¸ie 1.2.13 Dacă înlocuim (P −O ′ ) = (P −Q)+(Q−O ′ ) = (P −Q)+ρ 

în (1.146), obt¸inem 

aP (t) = ˙ω × (P − Q) + ω × [ω × (P − Q)] . (1.156) 

Astfel, pentru ω × ˙ω = 0, relat¸ia (1.156) dovede¸ste că mi¸scarea unui corp rigid, 

la un moment dat, este echivalentă cu o mi¸scare de rotat¸ie instantanee în jurul 

polului accelerat¸ie. 

1.2.8 Aplicat¸ii 

Să considerăm o bară AB de lungime 2l, constrânsă a se mi¸sca astfel încât 

capetele sale A ¸si B să rămână în două plane paralele la distant¸a 2h (h < l) unul 

de celălalt (Figura 1.17). Alegem sistemul de referint¸ă fix astfel încât originea 

O să fie echidistantă fat¸ă de cele două plane, mai mult, axa x3 trebuie să fie 

ortogonală pe cele două plane. Din alegerea făcută ¸si din constrângerea impusă, 

rezultă că, în timpul mi¸scării , mijlocul G al barei AB rămâne în planul (x1, x2) 

tot timpul. De aceea, acest sistem are trei grade de libertate, din moment ce 

este posibil să determină pozit¸ia barei AB în funct¸ie de coordonate lui G în 

planul (x1, x2) ¸si unghiul θ pe care proiect¸ia lui AB pe planul (x1, x2) îl face, 

de exemplu, cu axa x1. Folosindu-ne de formula (1.128) ¸si alegând punctul G 

ca origine a sistemului ata¸sat barei, este u¸sor să exprimăm viteza unui punct 

arbitrar P al barei cu ajutorul 

x 2 

vP (t) = vG + ω × (P − G). (1.157) 

În plus, deoarece vitezele punctelor barei AB sunt paralele cu cele două plane 

fixe, mi¸scarea va fi plană. Mi¸scarea barei AB, relativă la sistemul de referint¸ă 

cu originea în G ¸si cu axele paralele cu cele ale sistemului fix, este o rotat¸ie în


jurul axei care trece prin G, paralelă cu x3, ¸si viteza unghiulară a acestei mi¸scări 

este ω = ˙ θi3. Notând coordonatele lui G prin (x1G, x2G), din (1.157) ont¸inem 

vP = ˙x1Gi1 + ˙x2Gi2 + ˙ θi3 × [(x1 − x1G)i1 + (x2 − x2G)i2 + x3i3]. (1.158) 

Pentru că vG este ortogonal pe ω, întotdeauna va exista un punct C astfel încât 

vG = ˙ θi3 × (G − C) ¸si, în consecint¸ă, 

vP = ˙ θi3 × (P − C). (1.159) 

Aceasta înseamnă că starea de mi¸scare este de rotat¸ie în jurul axei care trece 

prin C, paralelă cu i3. Pentru a determinaa coordonatele (x1C, x2C, x3C) ale lui 

C, să compară expresiile (1.158) ¸si (1.159). Astfel obt¸inem 

[ ˙x1G − ˙ θ(x2 − x2G)]i1 + [ ˙x2G + ˙ θ(x1 − x1G)]i2 = − ˙ θ(x2 − x2C)i1 + ˙ θ(x1 − x1C)i2, 

astfel egalitatea de mai sus implică 

˙x1G + ˙ θx2G = ˙ θx2C, 

˙x2G − ˙ θx1G = − ˙ θx1C. 

De aceea, toate punctele C care satisfac ecuat¸ia (1.159) apart¸in dreptei paralele 

cu x3 care trece prin punctul din planul (x1, x2) ¸si care are coordonatele 

x1C = x1G − ˙x2G 

˙θ , 

1.2.9 Cinematica mi¸scărilor relative 

x2C = x2G + ˙x1G 

. (1.160) 

˙θ 

Considerând doi observatori distinct¸i reprezentat¸i prin două sisteme Cartesiene 

compatibile cu regula mâinii drepte, (O, x1, x2, x3) ¸si (O ′ , y1, y2, y3), care se 

mi¸scă unul fat¸ă de altul ¸si sunt înzestrate cu acela¸si sistem de măsurare al 

timpului (acela¸si ceas) (Figura 1.18). 

O astfel de reprezentare este posibilă pentru că, în cadrul mecanicii clasice, 

se presupune că: 

1 distant¸a dintre două puncte fixe nu depinde de sistemul de referint¸ă ales. 

Acest lucru garantează existent¸a a două triplete ortogonale care se pot 

mi¸sca unul fat¸ă celălalt; 

2 timpul absolut (adică, timpul este independent de observatori) există. Prin 

urmare, dacă t ¸si t ′ sunt momente de timp relative la acela¸si eveniment, 

măsurat de două sisteme de referint¸ă diferite, există totdeauna posibilitatea 

să setăm ceasurile astfel încât 

t = t ′ .


x 1 

O 

x 3 

y 3 

O ′ 

y 1 

Figura 1.18: 

Pentru u¸surint¸a notării, For the convenience of notation only, vom numi 

ulterior sistemele de referint¸ă (O, x1, x2, x3) ¸si (O ′ , y1, y2, y3) fix ¸si respectiv 

mobil. Mai mult, considerăm sistemul material constituit dintr-un unic punct 

P . Mi¸scarea punctului P fat¸ă de sistemul de referint¸ă fix, pe care-l vom numi 

absolut, este determinată de sistemul 

sau de ecuat¸ia vectorială echivalentă 

x1 = ˆx1(t), 

y 2 

x 2 

x2 = ˆx2(t), (1.161) 

x3 = ˆx3(t), 

P (t) − O = ˆx1(t)i1 + ˆx2(t)i2 + ˆx3(t)i3, (1.162) 

unde i1, i2, i3 sunt versorii axelor x1, x2, x3. În mod analog, mi¸scarea punctului 

P în raport cu sistemul de referint¸ă mobil , pe care-l vom numi relativ, este 

determinată de 

P (t) − O ′ = ˆy1(t)j1 + ˆy2(t)j2 + ˆy3(t)j3, (1.163) 

unde ˆy1, ˆy2, ˆy3 ¸si j1, j2, j3 sunt coordonatele punctului P ¸si respectiv versorii 

sistemului de coordonate (O ′ , y1, y2, y3). 

În cele din urmă, mi¸scarea punctului O ′ , în raport cu sistemul de referint¸ă 

(O, x1, x2, x3), este determinată de 

O ′ (t) − O = c1(t)i1 + c2(t)i2 + c3(t)i3. (1.164)


Definit¸ie 1.2.18 Numim viteză absolută va ¸si viteză relativă vr a punctului 

P viteza lui P în raport cu sistemul de referint¸ă (O, x1, x2, x3) ¸si respectiv 

(O ′ , y1, y2, y3), . De aceea, din (1.162) ¸si (1.163), avem că 

va = ˙x1i1 + ˙x2i2 + ˙x3i3, (1.165) 

vr = ˙y1j1 + ˙y2j2 + ˙y3j3. (1.166) 

Numim viteză de transport vτ viteza punctului în tripletului mobil care coincide 

cu P . 

Observat¸ie 1.2.14 Pentru că mi¸scarea tripletului mobil este mi¸scarea unui 

corp rigid în raport cu (O, x1, x2, x3), viteza de transport a punctului este viteza 

pe care P ar putea-o avea în cazul ar fi considerat un punct fix în sistemul de 

referint¸ă mobil, ¸si este dată de formula (1.128), sau de relat¸ia echivalentă 

dj1 dj2 dj3 

vτ = vO ′ + y1 + y2 + y3 . (1.167) 

dt dt dt 

Teoremă 1.2.5 (Compunerea vitezelor) Viteza absolută a unui punct la 

fiecare moment este dată de suma dintre viteza relativă ¸si viteza de transport, 

adică 

va = vr + vτ . (1.168) 

Demonstrat¸ie. Considerăm identitatea 

P (t) − O = (P (t) − O ′ (t)) + (O ′ (t) − O). 

Printr-o diferent¸iere directă în raport cu t, ¸si t¸inând cont de relat¸iile (1.162), 

(1.163) ¸si (1.164), deducem că 

dP (t) 

dt 

= dO′ (t) 

dt + ˙y1j1 + ˙y2j2 + ˙y3j3 + 

+y1 

dj1 

dt 

dj2 dj3 

+ y2 + y3 . (1.169) 

dt dt 

Prin urmare, utilizând expresiile date de (1.165), (1.166), ¸si (1.167) pentru va, 

vr ¸si respectiv vτ , din (1.169) obt¸inem (1.168). 

Definit¸ie 1.2.19 Numim accelerat¸ie absolută aa ¸si accelerat¸ie relativă ar a 

punctului P accelerat¸iile lui P în sistemele de referint¸ă (O, x1, x2, x3) ¸si respectiv 

(O ′ , y1, y2, y3), , adică 

aa = ¨x1i1 + ¨x2i2 + ¨x3i3, (1.170) 

ar = ÿ1j1 + ÿ2j2 + ÿ3j3. (1.171) 

Definit¸ie 1.2.20 Numim accelerat¸ie de transport aτ a lui P accelerat¸ia punctului 

în tripletul mobil care coincide cu punctul P . Numim accelerat¸ie complementară 

sau accelerat¸ie Coriolis cantitatea definită de formula 

unde ω este acela¸si vector ca în formula lui Poisson. 

ac = 2ω × vr, (1.172)


Observat¸ie 1.2.15 Deoarece accelerat¸ia de transport a punctului P este aceea 

pe care punctul P ar avea-o dacă ar fi considerat fix fat¸ă de sistemul mobil de 

referint¸ă, utilizând formula accelerat¸iei punctelor unui rigid, deducem că aτ este 

dată de (1.146) sau (1.149), adică 

aτ = aO ′ + y1 

d2j1 + y2 

dt2 d2j2 + y3 

dt2 d2j3 . (1.173) 

dt2 Teoremă 1.2.6 (Compunerea accelerat¸iilor) Accelerat¸ia absolută a unui punct 

la fiecare moment este reprezentată de suma accelerat¸iilor relative, de transport 

¸si accelerat¸ia Coriolis, adică 

aa(t) = ar(t) + aτ (t) + ac(t). (1.174) 

Demonstrat¸ie. Diferent¸iind expresia (1.169) în raport cu timpul, obt¸inem 

aa(t) = aO ′ + ÿ1j1 

 

 

dj1 dj2 dj3 

+ ÿ2j2 + ÿ3j3 + 2 ˙y1 + ˙y2 + ˙y3 

dt dt dt 

+y1 

d2j1 + y2 

dt2 d2j2 + y3 

dt2 d2j3 . 

dt2 Din ultima ecuat¸ie, folosind expresiile (1.171), (1.173) ¸si formula lui Poison, 

obt¸inem 

aa(t) = ar + aτ + 2( ˙y1 ω × j1 + ˙y2ω × j2 + ˙y3ω × j3). (1.175) 

Prin urmare, folosind expresia (1.172) pentru accelerat¸ia Coriolis, din (1.175) 

obt¸inem relat¸ia (1.174) ¸si demonstrat¸a este completă. 

Observat¸ie 1.2.16 Într-un sistem neinert¸ial, viteza absolută este dată de expresia 

¸si viteza absolută are forma 

va = vO ′ + ω × (P − O′ ) + vr 

aa = aO ′ + ˙ω × (P − O′ ) + 2ω × vr + ω × [ω × (P − O ′ )] + ar. 

Termenul ω×[ω × (P − O ′ )] este cunoscut ca accelerat¸ia centripetă a punctului. 

Exercit¸iu 1.2.10 Două puncte materiale P1 ¸si P2 au urnătorii vectori de pozit¸ie: 

x1 = 2ti1 − t 2 i2 + (3t 2 − 4t)i3 ¸si respectiv x2 = (5t 2 − 12t + 4)i1 + t 3 i2 − 3ti3, . 

Determinat¸i viteza ¸si accelerat¸ia relativă al celui de al doilea punct în raport cu 

primul la momentul t = 2. 

Solut¸ie. Vitezele celor două puncte materiale sunt 

v1 = ˙x1 = 2i1 − 2ti2 + (6t − 4)i3, 

v2 = ˙x2 = (10t − 12)i1 + 3t 2 i2 − 3i3,


¸si astfel, la momentul t = 2, avem v1 = 2i1 − 4i2 + 8i3 ¸si v2 = 8i1 + 12i2 − 3i3. 

Astfel, viteza relativă a punctului P2 în raport cu P1 este v2 − v1 = 6i1 + 16i2 − 

11i3. 

Accelerat¸iile celor două puncte materiale sunt 

a1 = ¨x1 = −2i2 + 6i3, a2 = ¨x2 = 10i1 + 6ti2, 

astfel că, la momentul t = 2, avem a1 = −2i2 + 6i3, a2 = 10i1 + 12i2. Deci, 

accelerat¸ia relativă cerută este a2 − a1 = 10i1 + 14i2 − 6i3. 

Exercit¸iu 1.2.11 Un unghi invariant y1Oy2 se rote¸ste în planul său în jurul 

punctului O cu viteza unghiulară ω. Un punct material P se mi¸scă în planul 

acestui unghi ¸si are coordonatele y1 ¸si y2 în raport cu sistemul de referint¸ă plan 

(O, y1, y2). 10 ) S˘ se determine componentele vitezei absolute a punctului P 

în raport cu axele Oy1 ¸si Oy2; 2 0 ) Dacă y1Oy2 = π 

2 

absolute sunt C1 

y1 

¸si componentele vitezei 

¸si C2 

y2 , unde C1 ¸si C2 sunt constante arbitrare, să se arate că 

y2 1 + y2 2 este o funct¸ie liniară în raport cu timpul; 30 ) Dacă y1Oy2 = π 

2 ¸si ω este 

o constantă, să se determine traiectoria punctului P atunci când accelerat¸iile 

absolută ¸si relativă sunt egale. 

Solut¸ie. 1 0 ) Fie j1 ¸si j2 versorii axelor Oy1 ¸si respectiv Oy2. Dacă introducem 

notat¸ia α = y1Oy2 ¸si considerăm vectorul unitar u ortogonal versorului 

j1 atunci avem 

j2 = cos αj1 + sin αu 

¸si astfel deducem 

d 

dt j1 = ωu, 

d 

u = −ωj1, 

dt 

Deoarece P − O = y1j1 + y2j2, rezultă că 

¸si deci 

va = 

va = ˙y1j1 + ˙y2j2 + y1 

d 

dt j2 = ω(cos αu − sin αj1). 

d 

dt j1 

d 

+ y2 

dt j2 

 

˙y1 − ωy1 cot α − ωy2 

 

j1 + ˙y2 + ωy2 cot α + 

sin α 

ωy1 

 

j2. 

sin α 

2 0 ) Utilizând ipotezele problemei ¸si rezultatele de mai sus, deducem ecuat¸iile 

care implică 

Prin integrare, obt¸inem 

˙y1 − ωy2 = C1 

, ˙y2 + ωy1 = C2 

, 

y1 

y1 ˙y1 + y2 ˙y2 = C1 + C2. 

y 2 1 + y 2 2 = 2(C1 + C2)t + C, C = constant. 

y2


3 0 ) Pe baza ipootezelor, găsim 

ar = ÿ1j1 + ÿ2j2, at = −ω 2 (y1j1 + y2j2), ac = 2ω(− ˙y2j1 + ˙y1j2). 

Dacă aa = ar, atunci at + ac = 0 ¸si deci putem deduce 

2 ˙y1 − ωy2 = 0, 2 ˙y2 + ωy1 = 0, 

din care rezultă că punctul se mi¸scă pe cercul y 2 1 +y 2 2 = c 2 , c = constant. Astfel, 

traiectoria este cercul de ecuat¸ie y 2 1 + y 2 2 = c 2 . 

1.2.10 Mi¸scări de transport speciale 

Mi¸scarea unui sistem mobil de coordonate fat¸ă de sistemul fix poartă numele 

de mi¸scare de transport. În această sect¸iune, vom considera câteva mi¸scări de 

transport speciale. Începem cu cea de translat¸ie, adică presupunem că sistemul 

mobil execută o mi¸scare de translat¸ie fat¸ă de sistemul fix. Considerând aceste 

ipoteze, toate punctele ata¸sate sistemului mobil au aceea¸si viteză ¸si accelerat¸ie. 

Prin urmare, putem alege ca viteză ¸si accelerat¸ie de transport a oricărui punct 

P , viteza ¸si accelerat¸ia originii O ′ a sistemului mobil. Teorema compunerii 

vitezelor are următoarea formă: 

va(t) = vr(t) + vO ′(t). (1.176) 

În ceea ce prive¸ste teorema de compunere a accelerat¸iilor, observă că ac = 

2ω × vr = 0, pentru că mi¸scarea de transport este de translat¸ie ¸si astfel ω = 0. 

Ecuat¸ia (1.174) devine 

aa(t) = ar(t) + aO ′(t). (1.177) 

În particular, dacă mi¸scare de transport este de translat¸ie, rectilinie ¸si uniformă, 

atunci relat¸ia (1.177) se reduce la 

aa(t) = ar(t), (1.178) 

adică accelerat¸ia lui P este aceea¸si în raport cu cei doi observatori. 

Definit¸ie 1.2.21 Două sisteme de referint¸ă se numesc echivalente dacă mi¸scare 

fiecărui sistem în raport cu celălalt este de translat¸ie, rectilinie ¸si uniformă. 

Observat¸ie 1.2.17 Cu toate că accelerat¸ia are un caracter relativ, este invariantă 

fat¸ă de clasa sistemelor de referint¸ă echivalente. Nu acela¸si lucru se 

întâmplă cu viteza, care întotdeauna are un caracter relativ. 

În cele din urmă, considerăm mi¸scarea uniformă de transport de rotat¸ie în 

jurul unei axe care trece prin O. Astfel, avem 

vτ = ω × (P − O), 

aτ = −ω 2 (P − P ∗ ), 

unde P ∗ este proiect¸ia lui P pe axa de rotat¸ie. Prin urmare, găsim 

va = vr + ω × (P − O), 

aa = ar − ω 2 (P − P ∗ ) + 2ω × vr.


x 1 

y 3 

O 

x 3 

z 3 

O ′′ 

z 1 

O ′ 

Figura 1.19: 

1.2.11 Mi¸scări relative pentru corpurile rigide 

y 1 

P 

Considerăm un corp rigid B care se mi¸scă în raport cu două sisteme de coordonate 

(O, x1, x2, x3) ¸si (O ′ , y1, y2, y3). Numim mi¸scare absolută a rigidului B 

mi¸scarea fat¸ă de sistemul fix de referint¸ă , ¸si mi¸scare relativă, mi¸scarea în raport 

cu sistemul mobil de referint¸ă. Mai mult, putem asocia corpului rigid B un 

nou sistem fix de referint¸ă ortogonal în B pe care-l vom nota cu (O ′′ , z1, z2, z3) 

(Figure 1.19). 

Definit¸ie 1.2.22 Numim viteză unghiulară absolută ωa ¸si viteză unghiulară 

relativă ωr vitezele unghiularea ale lui B în timpul mi¸scării sale în raport cu 

(O, x1, x2, x3) ¸si respectiv (O ′ , y1, y2, y3). 

Observat¸ie 1.2.18 Pentru fiecare punct P ∈ B, avem 

y 2 

z 2 

v (a) 

P (t) = v(a) 

O ′′(t) + ωa(t) × (P − O ′′ ), (1.179) 

v (r) 

P (t) = v(r) 

O ′′(t) + ωr(t) × (P − O ′′ ), (1.180) 

unde v (a) 

P ¸si v (a) 

O ′′, v(r) 

P ¸si v (r) 

O ′′ sunt vitezele lui P ¸si O′′ fat¸ă de sistemul de 

referint¸ă fix în spat¸iu (O, x1, x2, x3) ¸si respectiv fat¸ă de sistemul mobil de referint¸ă 

(O ′ , y1, y2, y3). 

x 2


y 2 

O 

x 2 

ωt 

x 0 

Figura 1.20: 

P 

r 

Definit¸ie 1.2.23 Numim viteză unghiulară de transport ωτ viteza unghiulară 

a lui B considerat a fi ata¸sat sistemului mobil de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3). 

Observat¸ie 1.2.19 Dacă P este un punct al lui B, atunci 

unde v (τ) 

P 

y 1 

x 1 

v (τ) 

P (t) = v(τ) 

O ′′(t) + ωτ (t) × (P − O ′′ ), (1.181) 

¸si v(τ) 

O ′′ sunt vitezele de transport ale lui P ¸si respectiv O′′ . 

Teoremă 1.2.7 Viteza unghiulară absolută ωa a sistemului rigid la fiecare moment 

este reprezentată de suma vitezei unghiulară relativă ωr cu viteza de transport 

ωτ ; ceea ce înseamnă 

ωa = ωr + ωτ . (1.182) 

Demonstrat¸ie. Pe baza definit¸iilor lui v (a) 

P ¸si v(a) 

O ′′, v(r) 

P 

utilizând Teorema Compunerii Vitezelor, găsim 

v (a) 

P = v (r) 

P + v(τ) 

P , 

v (a) 

O ′′ = v(r) 

O ′′ + v(τ) 

O ′′. 

¸si v(r) 

O ′′, v(τ) 

P ¸si v(τ) 

O ′′, 

Astfel, scăzând (1.180) ¸si (1.181) din (1.179), pentru fiecare P , deducem că 

(ωa − ωr − ωτ ) × (P − O ′′ ) = 0. (1.183) 

Prin urmare, pentru că îl putem alege pe P în mod arbitrar, expresia (1.182) 

din Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare rezultă din (1.183). 

1.2.12 Aplicat¸ii ¸si exemple 

Un punct P se mi¸scă uniform de-alungul dreptei r. În raport cu (O, x1, x2, x3), 

linia r trece prin originea O ¸si se rote¸ste cu viteza unghiulară ω în jurul axei x3 

(Figura 1.20). 

Prin urmare, cunoa¸stem mi¸scare lui P în raport cu dreapta r ¸si mi¸scare 

dreptei r în raport cu sistemul de referint¸ă (O, x1, x2, x3) pe care-l considerăm


fix în spat¸iu. Utilizând teorema copunerii vitezelor ¸si accelerat¸iilor, putem determina 

mi¸scare lui P în raport cu sistemul fix de referint¸ă. De fapt, dacă v 

este modului vitezei lui P de-alungul dreptei r, atunci avem 

vr = vj1, vτ = ωi3 × (P − O), (1.184) 

unde j1 este versorul dreptei r care are aceea¸si direct¸ie cu vr. Prin urmare, dacă 

momentul init¸ial al măsurării timpului este ales acela când unghiul P Ox1 = ωt, 

atunci avem 

j1 = cos ωti1 + sin ωti2, 

y1 = vt + x0, 

unde x0 semnifică pozit¸ia init¸ială a lui P pe r, când r coincide cu axa x1. Astfel, 

prin Teorema Compunerii Vitezelor, putem concluziona că 

va = vj1 + ωi3 × (vt + x0)j1 

= v(cos ωti1 + sin ωti2) + ω(vt + x0) cos ωti2 − ω(vt + x0) sin ωti1. 

Din ultima egalitate deducem 

˙x1 = v cos ωt − ω(vt + x0) sin ωt, 

˙x2 = v sin ωt + ω(vt + x0) cos ωt. (1.185) 

Folosind condit¸iile init¸iale din nou, este u¸sor să verificăm că (1.185) implică 

¸si, în consecint¸ă, 

x1 = (vt + x0) cos ωt, 

x2 = (vt + x0) sin ωt, (1.186) 

x1 

x2 

= cot ωt. 

În cele din urmă, dacă introducem sistemul polar de referint¸ă (ρ, θ) astfel 

, atunci, din (1.186), obt¸inem 

încât ρ = y1 ¸si θ = ωt = arccot x1 

x2 

ρ = 

 

x 2 1 + x2 2 = vt + x0 = v 

ω θ + x0. (1.187) 

Din (1.187) rezultă că traiectoria este spirala lui Arhimede. 

În ce prive¸ste accelerat¸ia absolută, observăm că 

ar = 0, a τ = −ω 2 (P − O), ac = 2ωi3 × vj1. 

Astfel, în funct¸ie de componentele radială ¸si transversală, găsim 

aa = −ω 2 y1r + 2ωvh, 

unde am introdus notat¸iile r = j1, h = i3 × j1.


x ′ 

1 

n 

y 3 

ψ 

y 1 

O 

ϕ 

θ 

′ 

′ 

x3 

Figura 1.21: 

x ′ 

2 

Ca o aplicat¸ie la Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare, vom deduce 

relat¸ia dintre viteza unghiulară ω a rigidului ¸si unghiurile lui Euler. Considerăm 

un corp rigid liber ¸si expresia corespunzătoare a vitezei punctului P 

y 2 

n ′ 

′′ n 

vP (t) = vO ′(t) + ω × (P − O′ ), 

unde O ′ este un punct al rigidului pe care îl alegem drept origine pentru sistemele 

de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) ata¸sat corpului ¸si a unui nou sistem de referint¸ă 

(O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3) ale cărui axe sunt paralele sau invariabile fat¸ă de (O, x1, x2, x3) 

fixat în spat¸iu. Să notăm prin θ, ϕ, ψ unghiurile lui Euler (ca în Figura 1.21). 

Vom nota de asemenea prin n ′ o nouă axă, astfel încât (O ′ , n, n ′ , y3) este un 

triplet ortogonal care respectă regula mâinii drepte ¸si prin n ′′ , o altă axă, astfel 

încât (O ′ , n, n ′′ , x ′ 3) este de asemenea un triplet ortogonal care respectă regula 

mâinii drepte. Dacă vom considera mi¸scarea corpului relativ la cele două triplete 

(O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3) ¸si (O ′ , n, n ′ , y3), din Teorema Compunerii Vitezelor Unghiulare 

deducem 

ω = ωr + ωτ , 

unde ω reprezintă vectorul rotat¸ie instantanee a mi¸scării corpului în raport 

cu (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). Mai mult, avem ωr = ˙ϕj3, pentru că, fat¸ă de tripletul 

(O ′ , n, n ′ , y3), corpul se mi¸scă în jurul axei y3. În cele din urmă, ωτ este viteza 

unghiulară a mi¸scării tripletului (O ′ , n, n ′ , y3) în raport cu (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). De 

aceea, considerând mi¸scarea lui (O ′ , n, n ′ , y3) ca fiind una rigidă, o putem studia 

în raport cu cei doi observatori asociat¸i celor două sisteme de referint¸ă 

(O ′ , n, n ′′ , x ′ 3) ¸si (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). Astfel, obt¸inem 

ωτ = ω ′ r + ω ′ τ , 

unde ω ′ r = ˙ θn (n este versorul liniei nodurilor) este viteza unghiulară a mi¸scării 

lui (O ′ , n, n ′ , y3) relativ la (O ′ , n, n ′′ , x ′ 3), ¸si ω ′ τ = ˙ ψi3 este viteza unghiulară a


lui (O ′ , n, n ′′ , x ′ 3) relativ la (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). Prin urmare, 

ω = ˙ϕj3 + ˙ θn+ ˙ ψi3. (1.188) 

Dacă ω = ω1j1 + ω2j2 + ω3j3 ¸si folosim relat¸iile (1.105), (1.109) ¸si (1.117), 

atunci din relat¸ia (1.188) găsim 

ω1 = ˙ θ cos ϕ + ˙ ψ sin θ sin ϕ, 

ω2 = − ˙ θ sin ϕ + ˙ ψ sin θ cos ϕ, (1.189) 

ω3 = ˙ϕ + ˙ ψ cos θ. 

Exercit¸iu 1.2.12 În schema de rotat¸ie a lui Euler, găsit¸i relat¸iile care exprimă 

componentele vitezei unghiulare ω a rigidului, în funct¸ie de tripletul i1, i2, i3, 

în termenii unghiurilor lui Euler. 

Solut¸ie. Dacă ω = ω 0 1i1 + ω 0 2i2 + ω 0 3i3, atunci, prin intermediul relat¸iilor 

(1.118) ¸si (1.188) ¸si considerând n = cos ψi1 + sin ψi2, obt¸inem următoarele 

rela¸tii: 

ω 0 1 = ˙ θ cos ψ + ˙ϕ sin θ sin ψ, 

ω 0 2 = ˙ θ sin ψ − ˙ϕ sin θ cos ψ, 

ω 0 3 = ˙ ψ + ˙ϕ cos θ. 

1.2.13 Mi¸scări rigide plane 

Ne reamintim că am definit mi¸scarea rigidă plană ca fiind mi¸scarea rigidă în 

care vitezele punctelor trebuie să rămână permanent paralele cu un plan fix π. 

Mai mult, pentru că axa y3 a sistemului de referint¸ă ata¸sat corpului poate fi 

aleasă astfel încât să fie permanent paralelă cu axa x3 a sistemului de referint¸ă 

fix, este de asemenea posibil să alegem originea O ′ astfel ca, în timpul mi¸scării, 

planele (x1, x2) ¸si (y1, y2) să coincidă întotdeauna cu planul π (Figura 1.22). 

Deoarece configurat¸ia corpului este determinată atunci când pozit¸ia tripletului 

ata¸sat corpului este determinată, putem spune: 

Observat¸ie 1.2.20 

În timpul unei mi¸scări rigide plane, corpul posedă trei grade 

de libertate. Doi parametri care descriu această mi¸scarea sunt coordonatele lui 

O ′ în planul (x1, x2) iar al treilea este unghiul format de axa y1 cu axa x1. Ace¸sti 

parametri determină în mod unic configurat¸ia corpului. Astfel, mi¸scare corpului 

este determinată de mi¸scare sistemului (O ′ , y1, y2), sau, dintr-un punct de 

vedere mai general, de mi¸scarea figurii plane rigide dată de intersect¸ia corpului 

cu panul (O, x1, x2). 

Mai mult, după cum am demonstrat în Theorem 1.2.3, la fiecare moment, 

starea de mi¸scare este de rotat¸ie sau de translat¸ie. Deoarece cazul de mai sus 

poate fi considerat un caz degenerat al cazului stării de mi¸scare de rotat¸ie cu axa 

instantanee de rotat¸ie la infinit, vom presupune în consecint¸ă că starea cinetică 

este întotdeauna de rotat¸ie.


x 1 

π 

x 3 

O 

θ 

O ′ 

y 3 

Figura 1.22: 

y 1 

Definit¸ie 1.2.24 Numim centru instantaneu al rotat¸ie C punctul de intersect¸ie 

al axei instantanee de rotat¸ie cu planul π. 

Observat¸ie 1.2.21 Viteza fiecărui punct P al planului (O ′ , y1, y2) sau cea a 

figurii plane rigide ce se află în acest plan este dată de 

y2 

x 2 

vP (t) = ω(t) × (P (t) − C(t)), (1.190) 

unde C(t) este centru instrantaneu al rotat¸ie la momentul t. 

După ce facem produsul interior al expresiei (1.190) cu (P − C), obt¸inem 

vP · (P − C) = ω × (P − C) · (P − C) = 0, (1.191) 

¸si astfel, din (1.191) rezultă că viteza fiecărui punct P al figurii plane este ortogonală 

pe segmentul cu capetele în P ¸si C. De aceea, putem formula următoarea 

propozit¸ie: 

Propozit¸ie 1.2.2 Viteza fiecărui punct al figurii plane este determinată de 

îndată ce am determinat pozit¸ia centrului instantaneu ¸si viteza unui punct al 

figurii plane. 

Vom considera două puncte P0 ¸si P ale figurii plane. Presupunem că viteza 

vP0 a punctului P0 ¸si pozit¸ia centrului instantaneu C sunt date (Figura 1.23). 

Atunci, direct¸ia vitezei unui punct generic P este determinată de vectorul (P − 

C), pe care trebuie să fie ortogonală ¸si sensul ei este acela¸si cu cel al lui vP0 . În 

cele din urmă, putem afla modulul lui vP by (1.190), t¸inând cont de faptul că 

vP = ωr, vP0 = ωr0, (1.192)


x 2 

O 

v P0 

P 0 

P 

v P 

r 0 

Figura 1.23: 

r 

unde r ¸si r0 sunt distant¸ele dintre P ¸si C, ¸si respectiv dintre P0 ¸si C. Astfel, 

folosind (1.192), obt¸inem valoarea modulului ca fiind vP = vP0 r/r0. 

Este folositor să observăm că, din (1.190), punctul figurii plane care coincide 

cu centrul instantaneu are viteza zero. Mai mult, dacă centrul C se mi¸scă către 

infinit, (P0 − C) ¸si (P − C) tind să devină paralele cu vP0 ¸si vP , ¸si rat¸ia 

|P0 − C| 

|P − C| 

C 

x 1 

r0 

= 

r ≤ |P0 − P | + |P − C| 

= 1 + 

|P − C| 

|P0 − P | 

|P − C| 

tinde spre 1, deoarece, în timp ce centrul C se îndreaptă spre infinit, |P0 − P | / |P − C| 

tinde către zero. De aceea, pentru că direct¸iile lui vP0 ¸si vP coincid, putem concluziona 

că toate punctele au aceea¸si viteză ¸si deci acest lucru este în concordant¸ă 

cu observat¸ia anterioară care spunea că starea de mi¸scare este de translat¸ie când 

C este la infinit. 

Deoarece viteza fiecărui punct al figurii plane este ortogonală cu raza care 

une¸ste punctul cu centrul instantaneu, este posibil să determinăm pozit¸ia centrului 

C folosind următoarea metodă(vezi Figura 1.23): 

Observat¸ie 1.2.22 Dacă, la un moment dat, direct¸iile traiectoriilor sau vitezele 

a două puncte ale figurii plane sunt cunoscute, atunci centrul instantaneu al 

mi¸scării relative este dat de intersect¸ia dreptelor care sunt ortogonale pe direct¸iile 

traiectoriilor sau pe vitezele celor două puncte considerate. 

Exemplu 1.2.2 Considerăm o bară AB ale cărei capete sunt constrânse să 

se mi¸ste de-alungul a două axe mutual ortogonale x1 ¸si x2. Atunci, centrul 

instantaneu C al acestei mi¸scări rigide plane la fiecare moment este punctul de 

intersect¸ie al dreptelor normale traiectoriilor (adică al dreptelor ortogonale pe 

axele x1 ¸si x2) în punctele A ¸si B (vezi Figura 1.24). 

Exemplu 1.2.3 Un alt exemplu interesant vine din studiul ansamblului arbore 

cotit - biela - mecanism cu piston, prezentat într-o formă schematică în figura


A 

O 

x 2 

B 

C 

Figura 1.24: 

1.25. Barele OA ¸si AB sunt conectate în punctul A printr-o legătură articulată, 

în timp ce arborele cotit OA se rote¸ste în jurul punctului fix O, iar tija de 

legătură AB este conectat la piston în punctul B. Deoarece sistemul se mi¸scă 

cu viteze paralele cu un acela¸si plan, putem concluziona că centrul instantaneu 

se află pe tija AB, este localizat pe vectorii care sunt normali traiectoriilor 

punctelor A ¸si B, ceea ce ne dă că centrul instantaneu se află la intersect¸ia 

dreptei OA cu dreapta care trece prin B ¸si care este perpendiculară pe OB. 

 

Mai mult, dacă θ este unghiul format de OA cu OB, atunci vA = ˙ 

 

θ 

|A − O|. 

Dacă C este centrul instantaneu, atunci avem vA/vB = |C − A| / |C − B| ¸si 

prin urmare 

|A − O| |C − B| 

 

 

vB = 

|C − A| 

˙ 

 

θ 

. 

În cele din urmă, dacă D este punctul situat pe dreapta AB ¸si care se află ¸si pe 

dreapta care trece prin O ¸si este perpendiculară pe OB, atunci 

 

 

vB = |D − O| ˙ 

 

θ 

= v ′ D, (1.193) 

unde v ′ D 

este viteza punctului care este solidar cu manivela ¸si coincide cu D. 

Exercit¸iu 1.2.13 Un cilindru circular drept de rază R = 10 se mi¸scă astfel 

încât baza sa rămâne întotdeauna în planul fix x1Ox2. Mi¸scarea sistemului de 

referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) ata¸sat cilindrului este descrisă prin ecuat¸iile c1(t) = 

t 3 + 2, c2(t) = 1 − t 3 , c3(t) = 0 ¸si θ(t) = π(t 2 − t). Determinat¸i: a) coordonatele 

x1, x2, x3 ale punctelor P1(y1 = 10, y2 = 0, y3 = 0) ¸si P2(y1 = 0, y2 = 5, y3 = 0) 

la momentul t = 2; b) viteza punctului P3(y1 = 1, y2 = 3, y3 = 0). 

Solut¸ie. Cilindru execută o mi¸scare plană. Astfel, avem 

j1 = cos θi1 + sin θi2, j2 = − sin θi1 + cos θi2, j3 = i3, 

x 1


D 

O 

x 2 

A 

Figura 1.25: 

¸si, pentru orice punct P (x1, x2, x3), găsim 

¸si astfel deducem că 

C 

B 

x1i1 + x2i2 + x3i3 = c1i1 + c2i2 + c3i3 + y1j1 + y2j2 + y3j3 

x1 = c1 + y1 cos θ − y2 sin θ, x2 = c2 + y1 sin θ + y2 cos θ, x3 = y3. 

Substituind funct¸iile c1, c2, c3 ¸si θ în formula de mai sus, obt¸inem 

x1 = t 3 + 2 + y1 cos π(t 2 − t) − y2 sin π(t 2 − t) , 

x2 = 1 − t 3 + y1 sin π(t 2 − t) + y2 cos π(t 2 − t) , 

x3 = y3. 

a) La momentul t = 2, avem 

x1 = 10 + y1, x2 = −7 + y2, x3 = y3 

¸si prin urmare coordonatele punctului P1(y1 = 10, y2 = 0, y3 = 0) sunt x1 = 20, 

x2 = −7, x3 = 0, în timp ce coordonatele punctului P2(y1 = 0, y2 = 5, y3 = 0) 

sunt x1 = 10, x2 = −2, x3 = 0. 

b) Printr-o diferent¸iere directă, obt¸inem următorul câmp al vitezelor: 

˙x1 = 3t 2 − π(2t − 1)y1 sin π(t 2 − t) − π(2t − 1)y2 cos π(t 2 − t) , 

˙x2 = −3t 2 + π(2t − 1)y1 cos π(t 2 − t) − π(2t − 1)y2 sin π(t 2 − t) , 

˙x3 = 0. 

Înlocuind y1 = 1, y2 = 3, y3 = 0 în relat¸ia de mai sus, obt¸inem viteza punctului 

P3 : 

v = 3t 2 − π(2t − 1) sin π(t 2 − t) − 3π(2t − 1) cos π(t 2 − t) i1 + 

+ −3t 2 + π(2t − 1) cos π(t 2 − t) − 3π(2t − 1) sin π(t 2 − t) i2. 

x 1


y 2 

O 

x 2 

O ′ 

H 

y 1 

Figura 1.26: 

γ 

γ 

Exercit¸iu 1.2.14 Găsit¸i centrul instantaneu al rigidului a cărui mi¸scare este 

paralelă cu un plan fix π. 

Solut¸ie. Alegem reperul fix astfel încât planul x1Ox2 să coincidă cu planul 

dat π. Fie O ′ un punct fix al corpului rigid. Alegem sistemul de referint¸ă ata¸sat 

rigidului astfel încât planul y1Oy2 să fie paralel cu planul π. Astfel, viteza unui 

punct generic P al corpului rigid este 

vP (t) = vO ′ + ω × (P − O′ ). 

Dacă P coincide cu centrul instantaneu C, atunci vC(t) = 0 ¸si prin urmare 

avem 

ω × (C − O ′ ) = −vO ′. 

Astfel, obt¸inem 

−ω × vO ′ = ω × [ω × (C − O′ )] , 

¸si prin urmare, folosind formula de dezvoltare a dublului produs vectorial, găsim 

[ω · (C − O ′ )] ω − ω 2 (C − O ′ ) = −ω × vO ′. 

Pentru că ω este perpendicular pe planul π, în timp ce (C − O ′ ) este paralel cu 

π, atunci ω · (C − O ′ ) = 0. Centrul C ne este dat de relat¸ia de mai sus ca fiind 

′ 

x 1 

C − O ′ = 1 

ω × vO ′. (1.194) 

ω2 1.2.14 Traiectorii în coordonate polare 

Să considerăm o mi¸scare în care curba γ ′ a planului în mi¸scare (O ′ , y1, y2) rulează 

pe curba γ a planului fix (O, x1, x2) (Figura 1.26). Presupunem că cele două 

curbe sunt destul de regulate ¸si că admit o tangentă comună în punctul de 

intersect¸ie H. Vom spune că γ ′ se mi¸scă pe γ.


Definit¸ie 1.2.25 Viteza acelui punct al curbei γ ′ care coincide la orice moment 

cu punctul de contact H poartă numele de viteza de alunecare. Dacă viteza de 

alunecare devine zero, spunem că γ ′ se rostogole¸ste fără alunecare pe γ. 

Teoremă 1.2.8 Dacă, în timpul mi¸scării, o curbă γ ′ se rostogole¸ste pe γ, 

atunci punctul ce apart¸ine curbei γ ′ care coincide cu punctul de contact H are 

viteza orientată spre dreapta tangentă la curba γ în punctul H. 

Demonstrat¸ie. Punctul de contact H al celor două curbe γ ¸si γ ′ se mi¸scă 

în timp de-alungul curbei γ sau de-alungul curbei γ ′ , acest lucru depinzând 

de observator, dacă este conenctat cu sistemul de referint¸dă (O, x1, x2) sau 

(O ′ , y1, y2). Din Teorema Compunerii Vitezelor, obt¸inem 

va (H) = vr (H) + vτ (H) , (1.195) 

unde va (H) ¸si vr (H) sunt vectorii viteză absolută ¸si respectiv viteză relativă 

ai punctului H, în timp ce vτ (H), este viteza de transport a lui H ¸si reprezintă 

viteza unui punct ce apart¸ine figurii în mi¸scare care coincide cu punctul de 

contact H, numită viteză de alunecare. Mai mult, pentru că va ¸si vr sunt 

orintat¸i după tangenta la curbele γ si ¸ γ ′ în punctul H, vτ ar trebui să aibe aceea¸si 

direct¸ie, ¸si, în consecint¸ă, ar trebui să fie direct¸ionate de-alungul tangentei la γ 

în H. 

Exemplu 1.2.4 În multe probleme, este posibil să determinăm centru instantaneu 

utilizând concluzia teoremei precedente. Drept exemplu, considerăm o bară 

AB sust¸inută de o axă în punctul A ¸si de un cerc fix de rază R ¸si cu centrul O, 

presum arată Figura 1.27. 

Întrucât, în timpul mi¸scării, bara AB alunecă pe cerc, vectorul viteză al 

punctului H de pe bara AB care coincide cu punctul de contact, are aceea¸si 

direct¸ie cu AB. În acest fel, centrul instantaneu C este punctul de intersect¸ie a 

dreptei OH cu normala la axa de sust¸inere în punctul A. 

În timpul mi¸scării, centrul instrantaneu î¸si schimbă pozit¸ia în raport cu ambele 

sisteme de referint¸ă, descriind două parabole distincte. 

Definit¸ie 1.2.26 Locul geometric al pozit¸iilor ocupate de centrul instantaneu, 

în timpul mi¸scării plane a unui rigid, fat¸ă de sistemul fix de referint¸ă (O, x1, x2) 

poartă numele de bază. Locul geometric al pozit¸iilor ocupate de centrul instantaneu, 

în timpul mi¸scării plane a unui rigid, fat¸ă de sistemul de referint¸ă mobil 

(O ′ , y1, y2) este o curbă numită ruletă. Baza ¸si ruleta se numesc traiectorii 

polare. 

În general, baza ¸si ruleta sunt două curbe, aflate în planele O, x1, x2 ¸si respectiv 

O ′ , y1, y2. Un exemplu interesant în acest sens provine din studiul miçscării 

reprezentate în Figura 1.24. Centrul instantaneu C rămâne la o distant¸ă constantă 

fat¸ă de originea O în raport cu (O, x1, x2), deoarece |C − O| = |A − B|. 

De aceea, baza va fi cercul cu centrul în O ¸si rază egală cu |A − B| (Figura 1.28).


B 

B 

O 

H 

O 

x 2 

A 

Figura 1.27: 

′ x2 A 

Figura 1.28: 

C 

C 

Pentru a determina ruleta, care este locul geometric al pozit¸iilor ocupate de centrul 

instantaneu fat¸ă de sistemul de referint¸ă (B, y1, y2) (F igura1.28) ata¸sat de 

bara AB, putem observa că AB este ipotenuza triunghiului drept ABC care 

se mi¸scă astfel încât latura AB să rămână fixă iar vârful C să varieze. Astfel, 

ruleta este cercul cu diametrul AB. 

Teoremă 1.2.9 În timpul mi¸scării plane a rigidului, ruleta se rostogole¸ste fără 

să alunece peste curba bază. 

Demonstrat¸ie. La fiecare moment, baza ¸si ruleta au punctul C în comun. 

În plus, din (1.190), viteza vτ (C) a punctului figurii mobile care coincide cu 

C se anulează. De aceea, dacă va(C) ¸si vr(C) sunt vectorii viteză absolută ¸si 

′ x1 x 1


viteza relativă a centrului instantaneu, atunci avem 

va(C) = vr(C). (1.196) 

Deoarece vitezele va ¸si vr ar trebui să fie tangente curbelor bază ¸si ruletă, în C, 

deducem din (1.196) că aceste două curbe sunt tangente. De aceea, în timpul 

mi¸scării, ruleta se rostogole¸ste peste curba bază. În cele din urmă, pentru că 

vτ (C) = 0, viteza de alunecare se anulează. Astfel, ruleta se rostogole¸ste fără 

să alunece peste curba bază. 

Observat¸ie 1.2.23 Baza ¸si ruleta sunt singurele curbe fixe în sistemele de 

referint¸ă (O, x1, x2) ¸si respectiv (O ′ , y1, y2), care se rostogolesc fără să alunece 

una pe alta. De fapt, dacă există alte două curbe care au acelea¸si proprietăt¸i, 

viteza punctului care coincide cu punctul de contact din figura în mi¸scare fără 

alunecare, se anulează. Totu¸si, din (1.190), doar centrul instantaneu are această 

proprietate. 

Exemplu 1.2.5 Considerăm un disc care se rostogole¸ste fără alunecare peste o 

axa (Figura 1.29). Această mi¸scare poartă numele de cicloida, pentru că fiecare 

punct descrie o cicloidă. Din Observat¸ia 1.2.23, pentru această mi¸scare, axa ¸si 

discul vor fi baza ¸si respectiv ruleta. Astfel, la fiecare moment, centrul instantaneu 

C va coincide cu punctul de contact dintre disc ¸si axa pe care discul se 

mi¸scă. Să determinăm numărul gradelor de libertate ale acestui sistem. Notăm 

prin x distant¸a dintre C ¸si O, ¸si prin θ unghiul pe care diametrul AA ′ al discului 

îl formează cu vectorul (C − O ′ ). Evident, x ¸si θ determină pozit¸ia discului, dar 

este u¸sor să observăm că impunerea condit¸iei de rostogolire fără alunecare duce 

la o relat¸ie între x ¸si θ. Viteza punctului O ′ este dată de 

vO ′ = ˙xi1. (1.197) 

În plus, ¸stiind că discul se află într-o stare de mi¸scare de rotat¸ie în jurul lui C, 

putem obt¸ine următoarea expresie pentru vO ′ 

vO ′ = ω × (O′ − C), (1.198) 

unde ω este acela¸si vector care apare în formula fundamentală 

vP = vO ′ + ω × (P − O′ ). 

Prin urmare, ω reprezintă viteza unghiulară a mi¸scării discului fat¸ă de sistemul 

de referint¸ă cu originea O ′ ¸si axele paralele sau fixe fat¸ă de (x1, x2). În acest 

caz, avem 

ω = ˙ θi3. (1.199) 

De aceea, comparând (1.197), (1.198) ¸si (1.199), obt¸inem 

˙x = R ˙ θ, (1.200)


O 

x 2 

x 

A 

θ 

C 

P 

′ O 

′ 

A 

Figura 1.29: 

unde R este raza discului. Această relat¸ie reprezintă constrângerea legată de 

rulare fără alunecare ¸si exprimă o constrângere nonholonomică. De fapt, relat¸ia 

(1.200) poate fi integrată u¸sor ¸si astfel obt¸inem ecuat¸ia 

x 1 

x = Rθ + x0, (1.201) 

unde x0 este o constanta convenabilă. Din (1.201) vedem că relat¸ia dintre θ ¸si 

x este de tip holonomic. Prin urmare, discul care se rostogole¸ste fără alunecare 

are doar un singur grad de libertate. Dacă în schimb considerăm o sferă care 

se rostogole¸ste fără alunecare pe un plan, este posibil să demonstrăm că ecuat¸ia 

diferent¸ială care rezultă din definit¸ia constrângerii de rostogolire fără alunecare 

nu este integrabilă. Astfel, nu este posibil să efectuăm acelea¸si operat¸ii ca în 

cazul discului pentru a trece de la (1.200) la (1.201). Prin urmare, acest sistem 

nu este holonomic. 

Exercit¸iu 1.2.15 Un cilindru de rază a (> 0) se mi¸scă pe un plan orizontal. 

Găsit¸i baza ¸si ruleta acestei mi¸scări. 

Solut¸ie. Presupunând că cilindrul se mi¸scă pe planul x1Ox2, de-alungul axei 

pozitive x2 cu viteza v0 (viteza centrului O ′ a sect¸iunii transversale a cilindrului 

situat în planul x2Ox3), rostogolindu-se în jurul lui O ′ , viteza unghiulară ω. 

Alegem sistemul de referint¸ă ata¸sat corpului cu originea în O ′ ¸si x3 = a ca plan 

y1O ′ y2. Făcând aceatsă alegere, mi¸scarea este în planul x2Ox3. Mai mult, avem 

ω = −ωi1, vO ′ = v0i2, ¸si din această cauză, obt¸inem ω × vO ′ = −ωv0i3. Astfel, 

relat¸ia (1.194), care ne dă centrul instantaneu, deducem 

C − O ′ = − v0 

ω i3. 

Observăm că această relat¸ie implică faptul că |C − O ′ | = v0 

¸si prin urmare 

ω 

ruleta este cercul de rază v0 

ω . Presupunând că nu există alunecare, v0 = aω ¸si 

astfel ruleta este circumferint¸a cilindrului. 

În raport cu reperul de referint¸ă fix, relat¸ia C − O ′ = − v0 

ω i3 determină 

x2 − x 0 2 = 0, x3 − x 0 3 = − v0 

ω , 

unde O ′ − O = x0 2i2 + x0 3i3, x0 3 = a. De aceea, centrul instantaneu descrie 

dreapta de ecuat¸ie x3 = x0 3 − v0 

ω care se află în planul x2Ox3, adică baza este 

o dreaptă paralecă cu axa x2.


x 2 

O 

dw 

dt 

− a M 

× (A − M) 

− ω 2 (A − M) 

A 

a M 

M 

dω 

dt h − ω2 r 

P 

Figura 1.30: 

dw 

dt 

× (P − M) 

− ω 2 (P − M) 

1.2.15 Accelerat¸ia unei mi¸scări rigide plane 

Pentru a determina distribut¸ia accelerat¸iilor punctelor unei figuri plane care se 

mi¸scă în plan, pornim de la relat¸ia (1.146), pe care o scriem în raport cu un 

punct M a figurii plane (Figura 1.30), sub următoarea formă: 

aP = aM + dω 

dt × (P − M) − ω2 (P − M). (1.202) 

Teoremă 1.2.10 Pentru o mi¸scare rigidă plană, distribut¸ia accelerat¸iilor este 

aceea¸si ca pentru mi¸scarea în jurul unui punct A, numit pol al accelerat¸iei, cu 

viteza unghiulară ω ¸si accelerat¸ia unghiulară dω 

dt . 

Demonstrat¸ie. Deoarece ω are o direct¸ie constantă, dω/dt are aceea¸si 

direct¸ie ca ω. Astfel, dω 

dt × (P − M) apart¸ine aceluia¸si plan cu figura ¸si este 

P −M 

ortogonal pe (P − M), a cărui direct¸ie o vom nota cu h. Stabilim r = |P −M| ¸si 

observăm că diferent¸a 

dω 

dt × (P − M) − ω2 

dω 

(P − M) = |P − M| 

dt h − ω2 

r (1.203) 

este un vector care are modulul proport¸ional cu |−M| ¸si are direct¸ia astfel încât 

unghiul pe care-l formează cu (P − M) să nu depindă de P , deoarece dω/dt 

¸si ω 2 nu depind de P . Vectorii h ¸si r sunt totdeauna mutul ortogonali. De 

aceea, există un punct A al figurii plane astfel încât expresia (1.203) calculată 

în raport cu acel punct să fie egală cu −aM . Astfel, accelerat¸ia aA a acelui 

punct se anulează. Dacă stabilim O ′ = A în relat¸ia (1.146), obt¸inem 

x 1 

aP = dω 

dt × (P − A) − ω2 (P − A). (1.204) 

Distribut¸ia accelerat¸iilor este aceea¸si ca în cazul mi¸scării de rotat¸ie în jurul lui 

A cu viteza unghiulară ω ¸si cu accelerat¸ia unghiulară dω/dt.


y 3 

x 1 

y 1 

O 

x 3 

Figura 1.31: 

Observat¸ie 1.2.24 Merită să ment¸ionăm în acest context că plul accelerat¸iei 

în general nu coincide cu centrul instantaneu C, deoarece accelerat¸ia lui C nu 

este în mod obligatoriu zero. 

1.2.16 Mi¸scarea unui corp rigid cu un punct fix 

Conuri Poinsot 

Este cunoscut că starea de mi¸scare a unui corp rigid cu un punct fix O este de 

rotat¸ie, cu axa instantanee de rotat¸ie trecând prin O. Pe parcursul mi¸scării, 

această axă î¸si schimbă orientarea fat¸ă de ambele sisteme de referint¸ă, cel fix 

(O, x1, x2, x3) ¸si fat¸ă de cel mobil. Deoarece axa trece întotdeauna prin O, 

descrie pe parcurs două conuri, unul fix în (O, x1, x2, x3), ¸si unul de asemenea 

fix, dar în (O, y1, y2, y3), pe care le vom numi conurile Poinsot (Figura 1.31). 

Prin utilizarea unui rat¸ionament similar cu cel din studiul mi¸scărilor rigide 

plane, putem demonstra că, pe parcursul mi¸scării, cele două conuri se rostogolesc 

fără alunecare unul pe celălalt, ¸si generatoarea pe care o au în comun, la fiecare 

moment, este axa instantanee de rotat¸ie. 

x 2 

y 2


x 1 

O 

x 3 

w 2 

w 1 

Mi¸scarea de precesie 

Figura 1.32: 

Presupunând că starea de mi¸scare a corpului rigid cu un punct fix este reprezentată 

de suma a două stări de mi¸scare de rotat¸ie, dacă O este un punct fix, atunci 

x 2 

vP = ω1 × (P − O) + ω2 × (P − O), (1.205) 

unde ω1 este un vector a cărui direct¸ie este de-alungul unei dreptei f fixe în corp 

¸si care trece prin O, pe care o vom numi axa figurii. Vectorul ω2 are direct¸ia 

de-alungul unei drepte p care trece prin O ¸si atribuită în raport cu reperul 

(O, x1, x2, x3) fix în spat¸iu, care poartă numele de axă de precesie. Dacă ω1 ¸si 

ω2 au modulul constant, spunem că mi¸scarea este o precesie regulată. 

Pentru punctele P ∗ ale axei din figură, relat¸ia (1.205) ia forma (Figura 1.32) 

vP ∗ = ω2 × (P ∗ − O) 

¸si, în consecint¸ă, aceste puncte se rotesc în jurul axei de precesie. Prin urmare, 

în timpul mi¸scării, corpul se rote¸ste în jurul axei din figură cu viteza unghiulară 

ω1 iar aceste axe se rotesc ¸si ele în jurul axei de precesie. 

După cum se poate vedea în relat¸ia (1.205), starea de mi¸scare este de rotat¸ie 

în jurul axei care trece prin O ¸si având direct¸ia lui ω1+ ω2. Deoarece ω1 ¸si ω2 

au modulele constante¸si unghiul făcut de ω1 ¸si ω2 este de asemenea constant, 

unghiurile α ¸si β formate de vectorul ω1+ω2 cu vectorii ω1 ¸si respectiv ω2,, sunt 

constante (Figura 1.33). Astfel, în raport cu sistemul de referint¸ă (O, x1, x2, x3) 

fix în spat¸iu, axa instantanee de rotat¸ie se rote¸ste în jurul direct¸ie lui ω2 în 

acela¸si mod ca ¸si vectorul ω1+ ω2, în timp ce, fat¸ă de reperul ata¸sat corpului, 

axa instantanee de rotat¸ie se rote¸ste în jurul directiei lui ω1. De aceea, conurile 

lui Poinsot sunt două conuri circulare care au, corespunzător, axa de precesie ¸si 

axele figurii drept axe de simetrie.


x 1 

O 

x 3 

w 2 

β 

α 

w 1 + w 2 

w 1 

Figura 1.33: 

Mi¸scarea titirezului ¸si mi¸scarea Pământului sunt exemple de mi¸scări de precesie. 

În raport cu un observator cu originea în centrul Pământului ¸si axele 

orientate spre stelele fixe, Pământul se rote¸ste în jurul axei sale proprii polare, 

care este axa figurii. La rândul său, această axă se rote¸ste în jurul unei axe 

ortogonale la planul eclipticii cu viteza unghiulară ω2 = 2π/T , unde perioada 

T este aproximativ egală cu 26 000 ani. Această rotat¸ie lentă a axei polare 

cauzează a¸sa-numitul fenomen de ”precesie a echinoct¸iului;” dat de, trecerea 

Soarelui de-a lungul liniei nodurilor (determinată ca intersect¸ia dintre planul de 

ecliptică cu planul Ecuatorului), care este verificată în fiecare an, cu un avans 

anumit. Aceasta duce la deplasarea relativă a stelelor fixe ¸si, prin urmare, este 

necesar să se actualizeze calendarul în conformitate cu un program special. 

x 2

Bibliografie 

[1] Abraham, R. H. and Marsden, J. E., Foundations of Mechanics: A Mathematical 

Exposition of Classical Mechanics, 2nd ed. New York: Benjamin, 

1978. 

[2] Abramowitz, M. and Stegun, I., Handbook of Mathematical Functions. New 

York, Dover, 1965. 

[3] Ames, J. S. and Murnaghan, F. D., Theoretical Mechanics: An Introduction 

to Mathematical Physics. New York: Dover, 1958. 

[4] Arnold, V. I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed. New 

York: Springer–Verlag, 1989. 

[5] Bowen, R. M. and Wang, C. C., Introduction to Vectors and Tensors, Vol. 

1. New York: Plenum, 1976. 

[6] Brouwer, D. and Clemence, G. M., Methods of Celestial Mechanics. New 

York: Academic Press, 1961. 

[7] Cercignani, C., Theory and Application of the Boltzmann Equation. Edinburgh: 

Scot. Academic Press, 1975. 

[8] Chow, T. L., Classical Mechanics. New York: Wiley, 1995. 

[9] Corben, H. C. and Stehle, P., Classical Mechanics, 2nd ed. New York: 

Wiley, 1960. 

[10] Fabrizio, M., Introduzione alla Meccanica Razionale e ai suoi Metodi 

Matematici. Bologna: Zanichelli, 1994. 

[11] Fabrizio, M., Elementi di Meccanica Classica. Bologna: Zanichelli, 2002. 

[12] Fowles, G. R. and Cassiday, G. L., Analytical Mechanics, 5th ed. Orlando: 

Saunders, 1993. 

[13] French, A. P., Newtonian Mechanics. New York: W. W. Norton, 1971. 

[14] Gantmacher, F. R., Lectures in Analytical Mechanics. Moscow: Mir Publishers, 

1970. 

83

84 BIBLIOGRAFIE 

[15] Graffi, D., Elementi di Meccanica Razionale. Bologna: Pátron, 1970. 

[16] Greenwood, T. D., Classical Dynamics. New York: Dover, 1997. 

[17] Griffits, J. B., The Theory of Classical Dynamics. Cambridge: Cambridge 

University Press, 1985. 

[18] Gurtin, M. E., An Introduction to Continuous Mechanics. New York: Academic 

Press, 1981. 

[19] Hirsch, M. W. and Smale, S., Differential Equations, Dynamical Systems 

and Linear Algebra. New York: Academic Press, 1974. 

[20] Hunter, S. C., Mechanics of Continuous Media, 2nd ed. Ellis Horwood, 

1983. 

[21] Kellog, O. D., Foundations of Potential Theory. Berlin: Springer–Verlag, 

1929. 

[22] Kelvin, W. T. and Tait, P. G., Principles of Mechanics and Dynamics, 2 

vols. New York: Dover, 1962. 

[23] Kibble, T. W. B. and Berkshire, F. H., Classical Mechanics. Harlow: Longman, 

1996. 

[24] Kilmister, C. W. and Reeve, J. E., Rational Mechanics.London: Longmans, 

1966. 

[25] Kittel, C., Knight, W. D. and Ruderman, M. A., Mechanics, 2nd ed. New 

York: McGraw–Hill, 1973. 

[26] Kleppner, D. and Kolenkow, R. J., An Introduction to Mechanics. New 

York: McGraw–Hill, 1973. 

[27] Knops, R. J. and Wilkes, E. W., Theory of Elastic Stability. In Encyclopedia 

of Physics, vol. VIa/3, (C. A. Truesdell, ed.), Berlin: Springer–Verlag, 125– 

302, 1973. 

[28] Knudsen, J. M. and Hjorth, P. G., Elements of Newtonian Mechanics. New 


[29] Lagrange, J. L., Mécanique Analitique, 4th ed., 2 vols. Paris: Gauthier– 

Villars et fils, 1888–89. 

[30] Lamb, H., Dynamics, 2nd ed. London: Cambridge University Press, 1961. 

[31] Lanczos, C., The Variational Principles of Mechanics, 4th ed. New York: 

Dover, 1986. 

[32] Landau, L. D. and Lifshitz, E. M., Mechanics 3rd ed. Oxford: Pergamon 

Press, 1976.

BIBLIOGRAFIE 85 

[33] Levi Civita, T. and Amaldi, U., Lezioni di Meccanica Razionale. Bologna: 

Zanichelli, 1927. 

[34] Liboff, R. L., Introduction to the Theory of Kinetic Equations. New York: 

John Wiley and Sons, Inc., 1969. 

[35] Mach, E., The Science of Mechanics: A Critical and Historical Exposition 

of its Principles.Chicago, IL: Open Court, 1893. 

[36] Macmillan, W. D., Dynamics of Rigid Bodies. New York: Dover, 1960. 

[37] Marion, J. B. and Thornton, S. T., Classical Dynamics of Particles and 

Systems, 4th ed. Philadelphia: Saunders, 1995. 

[38] Marsden, J. E. and Ratiu, T. S., Introduction to Mechanics and Symmetry: 

A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. New York: Springer– 

Verlag, 1994. 

[39] Mesarovic, M. D. and Takahara, Y., General Systems Theory: Mathematical 

Foundations. New York: Academic Press, 1975. 

[40] Moulton, F. R., An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd rev. ed. New 

York: Dover, 1970. 

[41] Natanson, I. P., Theory of Functions of a Real Variable.New York: Ungar, 

1955. 

[42] Nusse, H. E. and Yorke, J. A., Dynamics: Numerical Explorations. New 


[43] Osgood, W. F., Mechanics. New York: Macmillan, 1937. 

[44] Pars, L. A., A Treatise on Analytical Dynamics. New York: Wiley, 1965. 

[45] Percival, I. and Richards, D., Introduction to Dynamics. Cambridge: Cambridge 


[46] Pollard, H., Mathematical Introduction to Celestial Mechanics. Englewood 

Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1966. 

[47] Riley, W. F. and Sturges, L. D., Engineering Mechanics: Statics, 2nd ed. 

New York: Wiley, 1966. 

[48] Rosenauer, N. and Willis, A. H., Kinematics of Mechanisms. New York: 

Dover, 1967. 

[49] Routh, E. J., A Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies: 

Elementary Part, 7th ed., rev. and enl. New York: Dover, 1960. 

[50] Siegel, C. L. and Moser, J. K., Lectures on Celestial Mechanics, 2nd ed. 

Berlin: Springer–Verlag, 1995.

86 BIBLIOGRAFIE 

[51] Slater, J. C. and Frank, N. H., Mechanics. New York: McGraw–Hill, 1947. 

[52] Sommerfeld, A., Mechanics. New York: Academic Press, 1952. 

[53] Stiefel, E. L. and Scheifele, G., Linear and Regular Celestial Mechanics: 

Perturbed Two–Body Motion, Numerical Methods, Canonical Theory. New 


[54] Symon, K. R., Mechanics, 3rd ed. Reading, MA: Addison–Wesley, 1971. 

[55] Synge, J. L. and griffith, B. A., Principles of Mechanics, 3rd ed. New York: 

McGraw–Hill, 1959. 

[56] Thornton, M., Classical Dynamics of Particles and Systems. Philadelphia: 

Harcourt Brace College Publishers, 1995. 

[57] Timoshenko, S. and Young, D. H., Engineering Mechanics, 4th ed, 2 vols. 

New York: McGraw–Hills, 1956. 

[58] Tisserand, F. F., Traité de Mécanique Celeste, 4 vols. Paris: Gauthier– 

Villars et fils, 1889–96. 

[59] Verhulst, F., Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. 

Berlin: Springer-Verlag, 1990. 

[60] Whittaker, E. T., Analytical Dynamics, 4th ed. Cambridge: Cambridge 


[61] Williams, D., Elements of Mechanics. Oxford: Oxford University Press, 

1997.

Glosar 

A 

absolute acceleration, 61 

– angular velocity, 65 

– concept, 2 

– force, ?? 

– temperature, ?? 

– velocity, 61 

accelerated motion, 11 

acceleration of a point, 9 

accoustic tensor, ?? 

active force, ?? 

– loads, ?? 

Almansi strain tensor, ?? 

altitude of shooting, ?? 

amplitude, 25 

angle of static friction, ?? 

angular acceleration, 14 

– frequency, 25, ?? 

– momentum, ??, ?? 

– transport velocity, 66 

– velocity vector, 13 

anisotropic elastic material, ?? 

aperiodic motion with critical damping, 

?? 

Appel’s equations, ?? 

areal velocity, 17 

arm of power, ?? 

– of the resistance, ?? 

asymptotic stable equilibrium state, ?? 

attractor, ?? 

axial momentum, ??, ?? 

axis of oscillation, ?? 

– of precession, 81 

– of rotation, 42 

87 

B 

balance law of angular momentum, ?? 

– law of linear momentum, ?? 

basis, 75 

bending of a beam, ?? 

Bernoulli theorem, ?? 

Betti’s reciprocal theorem, ?? 

bifurcation, ?? 

bilateral constraint, 31 

Binet formula, 20 

binormal unit vector, 10 

body cone, ??, ?? 

Boltzmann equation, ?? 

C 

canonical equations, ?? 

– invariants, ?? 

– systems, ?? 

– transformation, ?? 

Cardan’s suspension, ?? 

cardinal equations, ??, ??, ?? 

Cauchy hypothesis, ?? 

– stress, ??, ?? 

causal dynamic system, ?? 

central force, ?? 

– motion, 19 

centre of mass, ?? 

– of motion, 19 

centrifugal force, ??, ?? 

centripetal acceleration, 11 

change in observer, ?? 

chaos, ?? 

characteristic polynomial, ?? 

circular motion, 22 

– and uniform motion, 22

88 GLOSAR 

Clausius–Duhem inequality, ?? 

closed cycle, ??, ?? 

coefficient of dynamical friction, ?? 

– of friction strength, ?? 

– of static friction, ?? 

– of static sliding friction, ?? 

complementary acceleration, 61 

complete canonical transformation, ?? 

compound pendulum, ?? 

compression, ?? 

conditional stability, ?? 

cone of static friction, ??, ?? 

conjugate variables, ?? 

conservation of energy, ??, ?? 

conservative force, ?? 

– Hamiltonian system, ?? 

– system of constitutive forces, ?? 

constitutive equation, ??, ?? 

– force, ??, ??, ?? 

constrained material point, ?? 

constraint, 31 

– of mobility, 32 

– of position, 32 

– reaction, ?? 

continuation, ?? 

continuity equation in Lagrangian form, 

?? 

– equation in spatial form, ?? 

continuous body, ?? 

– material system, ?? 

coordinates, 4 

Coriolis acceleration, 61 

– force, ??, ?? 

couple, ?? 

curvature, 10 

curvilinear abscissa, 5 

– coordinate, 30, ??, ?? 

cyclic coordinate, ?? 

cycloidal motion, 77 

cylindrical coordinates, ?? 

D 

D’Alembert principle, ?? 

damped aperiodic motion, ?? 

– oscillatory motion, ?? 

damping parameter, ?? 

deformation, ?? 

degree of freedom, 33 

density of mass, ?? 

– of probability, ?? 

dependent of time constraint, 32 

deviation moment, ?? 

– of a heavy point, ?? 

direct motion, 7, 22 

Dirichlet theorem, ?? 

discrete material system, ?? 

displacement, ?? 

dissipation principle, ?? 

double pendulum, ?? 

duration of shooting, ?? 

dynamic state, ?? 

dynamical process, ?? 

E 

effective force, ?? 

eigenvalue, ?? 

eigenvector, ?? 

elastic solid, ?? 

elasticity tensor, ?? 

elementary displacement, 9 

– work, ?? 

ellipsoid of inertia, ?? 

energy equation, ?? 

entropy, ?? 

equilibrium configuration, ?? 

– position, ?? 

equivalent reference frames, 64 

– representations, ?? 

– states, ?? 

Eulerian angles, 45 

– coordinates, ?? 

– dynamical process, ?? 

Euler’s equations, ??, ??, ?? 

extension, ?? 

extra stress, ?? 

F 

first integral, ??, ??, ?? 

– Piola–Kirchhoff stress, ??

GLOSAR 89 

– principle of thermodynamics, ?? 

fixed axoide, 55 

flexion point, ?? 

flow region, ?? 

forced oscillation, ?? 

Foucault’s pendulum, ?? 

frequency, 23 

friction force, ?? 

– strength, ?? 

function of distribution, ?? 

– of transition of states, ??, ??, ?? 

functional of response, ??, ?? 

fundamental equation, ?? 

– formula of kinematics of rigid systems, 

52 

– harmonic, ?? 

G 

Galileian invariance principle, ?? 

– observer, ?? 

general integral, ??, ?? 

generalized coordinates, 33, ?? 

– integral of energy, ?? 

– moments, ?? 

– potential, ?? 

– shear modulus, ?? 

generating function, ?? 

geodesic curve, ?? 

geometric constraint, 32 

gravitational acceleration, ?? 

Green strain tensor, ?? 

group of translations, 2 

gyroscope, ?? 

gyroscopic axis, ?? 

– phenomena, ?? 

– structure, ?? 

– system, ?? 

– system of forces, ?? 

gyrostat, ?? 

H 

Hamilton–Jacobi equation, ?? 

– method, ?? 

– reduced equation, ?? 

– time dependent equation, ?? 

Hamiltonian, ??, ?? 

– action, ?? 

– system, ?? 

Hamilton’s equations, ?? 

– principal function, ?? 

– principle, ?? 

harmonic oscillator, ?? 

– oscillatory motion, 25 

heat equation, ?? 

helical motion, 29 

– state of motion, 50 

holonomic constraint, 32 

– material system, 33 

homogeneous deformation, ?? 

– elastic material, ?? 

Hopf’s bifurcation, ?? 

Huygens theorem, ?? 

hydrostatic pressure, ?? 

hyperelastic material, ?? 

hysteresis cycle, ?? 

I 

ideal fluid, ?? 

ignorable coordinate, ?? 

impulse of a force, ??, ?? 

impulsive motion, ?? 

incompressible material, ?? 

independent of time constraint, 32 

inertia force, ?? 

– matrix, ?? 

inertial observer, ?? 

inertia’s motion, ?? 

infinitesimal rigid displacement, ?? 

– theory, ?? 

inflexion point, ?? 

inhomogeneous elastic material, ?? 

initial phase, 25 

Input–Output system, ?? 

instantaneous angular velocity, 49 

– centre of rotation, 70 

integrable system, ?? 

internal variable, ??, ?? 

intrinsic vector triplet, 11, ?? 

irreversible virtual displacement, ??

90 GLOSAR 

isochoric deformation, ?? 

– dynamical process, ?? 

isolated material point, ?? 

isotropic elastic material, ?? 

J 

Jacobi integral, ?? 

Jacobi’s identity, ?? 

jump, ?? 

K 

Kepler’s laws, ?? 

kinematical viscosity, ?? 

kinetic constraint, 32, ??, ?? 

– energy, ??, ??, ?? 

– moments, ?? 

– roto–translational state of motion, 

50 

– state, 49 

König theorem, ?? 

L 

Lagrange generalized forces, ?? 

Lagrange’s equations, ?? 

– multipliers, ?? 

Lagrangian, ??, ?? 

– coordinates, 33, ?? 

Lamé moduli, ?? 

left Cauchy strain tensor, ?? 

– Cauchy–Green strain tensor, ?? 

limit cycle, ?? 

linear momentum, ??, ?? 

– theory, ?? 

Liouville’s operator, ?? 

– theorem, ?? 

Lipschitz function, ?? 

Lissajous curve, ?? 

list of principal invariants, ?? 

local integrability, ?? 

localization of a body, 3 

longitudinal wave, ?? 

Lyapunov function, ?? 

– theorem, ?? 

Lyapunov’s first method, ?? 

– second method, ?? 

M 

Mach number, ?? 

material coordinates, ?? 

– point, 3, ?? 

– state, ?? 

– system, 3 

maximum point, ?? 

Maxwell–Boltzmann distribution, ?? 

mean kinetic energy, ?? 

mechanical system, ?? 

meter, 2 

minimum point, ?? 

mobile axoide, 55 

modulus of compression, ?? 

moment, 2 

– of arrest, 7 

– of inertia, ?? 

– of momentum, ??, ?? 

motion of precession, 82 

Mozzi’s theorem, 53 

N 

Navier–Stokes equations, ?? 

Newtonian attraction force, ?? 

– fluid, ?? 

Newton’s first law, ?? 

– second law, ?? 

– third law, ?? 

nonholonomic constraint, 32 

– material system, 34 

nonlinear oscillations, ?? 

normal acceleration, 11 

– distribution, ?? 

– force, ?? 

number of degrees of freedom, 33 

nutation, 45, ?? 

O 

osculating circle, 10 

– plane, 9

GLOSAR 91 

P 

part of a body, ?? 

percussion, ?? 

perfectly smooth constraint, ?? 

perimeter of support, ?? 

period of motion, 22 

periodic motion, 22 

phase diagram, ?? 

– plane, ?? 

physical pendulum, ?? 

pinnacle, ?? 

plane of material symmetry, ?? 

– polar coordinates, 12 


– rigid motion, 55 

Poincaré’s integral, ?? 

Poinsot cones, 80 

Poinsot’s motion, ?? 

point of application, ?? 

points, 1 

Poiseuille motion, ?? 

Poisson bracket, ?? 

Poisson’s distribution, ?? 

– formulae, 51 

– ratio, ??, ?? 

polar angle, 12 

– distance, 12 

– trajectories, 75 

pole of acceleration, 57, 79 

positional force, ?? 

positive definite elasticity tensor, ?? 

potential, ??, ?? 

– energy, ?? 

– flow, ?? 

power, ??, ?? 

precession, 45, ?? 

prescribed external forces, ?? 

pressure, ?? 

principal axes of inertia, ?? 

– direction, ?? 

– frequency, ?? 

– moments of inertia, ?? 

– normal unit vector, 10 

– oscillation, ?? 

– stress, ?? 

principle of conservation mass, ?? 

– of determinism, ?? 

– of the gyroscopic effect, ?? 

– of the constraint reactions, ?? 

– of virtual work, ?? 

problem of torsion, ?? 

products of inertia, ?? 

proper rotation, 45 

pulsation, 25, ?? 

pure shear, ?? 

– tension, ?? 

R 

radial acceleration, 14 


radius of curvature, 10 

range of shooting, ?? 

rectilinear and uniform motion, 8 

– translation motion, 41 

reduced length, ?? 

– mass, ?? 

reference frame, 3, 4 

– system, 3 

regular causal stationary dynamic system, 

?? 

relative acceleration, 61 

– angular velocity, 65 

– equilibrium position, ?? 


resistance, ?? 

– force, ?? 

resonance, ?? 

rest position, ?? 

retarded motion, 11 

retrograde motion, 7, 22 

reversible virtual displacement, ?? 

Reynolds number, ?? 

rheonomic constraint, 32 

right Cauchy strain tensor, ?? 

– Cauchy–Green strain tensor, ?? 

rigid body, 3 

– body with a fixed axis, ?? 

– body with a fixed point, 36, 80 

rigid material system, ?? 

rolling without sliding, 75

92 GLOSAR 

rotational kinetic state, 49 



roto–translational motion, 43 


roulette, 75 

Routh’s equations, ?? 

S 

Saint–Venant problem, ?? 

Saint–Venant’s compatibility conditions, 

?? 

scalar multiplication, 2 

scleronomic constraint, 32 

second, 2 

– cosmic speed, ?? 

– principle of thermodynamics, ?? 

secular equation, ??, ?? 

shear modulus, ?? 

– strain, ?? 

shock, ?? 

simple linear connected domain, ?? 

– material, ?? 

– pendulum, ?? 

– shear, ?? 

sinusoidal progressive wave, ?? 

sliding velocity, 55, 75 

small oscillations, ??, ?? 

sound speed, ?? 

space of configurations, ?? 

– of states, ??, ??, ??, ?? 

– of minimal states, ?? 

spatial cone, ?? 

– coordinates, ?? 

– gradient of deformation, ?? 

speed, 6 

spherical polar coordinates, ?? 

spontaneous motion, ?? 

stable equilibrium position, ?? 

– equilibrium state, ?? 

state, ??, ??, ?? 

– of motion, 49 

statically determined, ?? 

– undetermined, ?? 

stationary dynamic system, ?? 

statistical mechanics, ?? 

steady flow, ?? 

Stokes flow, ?? 

strain–displacement relation, ?? 

strain energy, ?? 

– energy density, ?? 

stress power, ?? 

strongly elliptic elasticity tensor, ?? 

stuck point, ?? 

successive harmonics, ?? 

superpotential, ?? 

surface traction, ?? 

suspension axis, ?? 

Symbolic Equation of Dynamics, ?? 

– Equation of Statics, ?? 

symmetric elasticity tensor, ?? 

symmetry transformation, ?? 

synchronous varied motions, ?? 

T 

tangent unit vector, 8 

tangential acceleration, 11 

terminal velocity, ?? 

theorem of axial moment, ?? 

thermoelastic material, ?? 

thermomechanic process, ?? 

three–dimensional affine Euclidean space, 

2 

time law, 5 

torsional rigidity, ?? 

trajectory, 5 

translation velocity field, 41 

translational kinetic state, 49 



transport acceleration, 61 

– force, ?? 


transverse acceleration, 14 


– wave, ?? 

two–body problem, ??

GLOSAR 93 

U 

uniform extension, ?? 

– motion, 7 

– translation motion, 41 

uniformly varied motion, 21 

unilateral constraint, 31 

unit of force, ?? 

– of mass, ?? 

unstable equilibrium position, ?? 

– equilibrium state, ?? 

V 

Van der Pol equation, ?? 

variation of a functional, ?? 

vector, 2 

velocity of a point, 7 

vertical straight line, ?? 

virtual displacement, ?? 

– velocity, ??, ?? 

– work, ?? 

viscosity, ?? 

viscous fluids, ??, ?? 

Vlasov’s equation, ?? 

Volterra–Lotka differential system, ?? 

W 

warping function, ?? 

Weierstrass method, ?? 

weight force, ?? 

work and kinetic energy theorem, ?? 

– done by a system of forces, ?? 

Y 

Young’s modulus, ??

Curs Mecanica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?