Curs Mecanica

1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 23
O
x 2
n
Figura 1.9:
r
Demonstrat¸ie. Avem s(t) = Rθ(t) + s0 ¸si prin urmare obt¸inem
P
s
O 1
x 1
v = ˙st = R ˙ θt. (1.52)
Deoarece ˙s este constantă, rezultă că ˙ θ este constantă ¸si astfel, alegând ˙ θ = ω,
obt¸inem
ˆθ(t) = ωt + θ0, (1.53)
unde θ0 este valoarea unghiului θ la momentul t = 0. Din (1.52) deducem că
v0 = R ˙ θ = Rω,
¸si deci ω = v0/R. Urmează din (1.53) că funct¸ia ˆ θ satisface relat¸ia
ˆθ(t + 2π
ω ) = ˆ θ(t) + 2π,
¸si prin urmare mi¸scarea este periodică cu perioada 2π/ω (a se vedea Figura 1.9).
Prin urmare, deoarece ω = v0/R, rezultă că perioada mi¸scării circulare este
T = 2π
ω
2πR
= . (1.54)
v0
Inversa acestei perioade este numită frecvent¸ă ν = 1 ω
T = 2π .
Deoarece t = 1
Rk × (P − O), unde k este vector unitar, ortogonal cercului ¸si
direct¸ionat astfel ca t, k, (P −O) să formeze un triplet drept, din (1.52) obt¸inem
v = ˙ θk × (P − O) = ω × (P − O), (1.55)