Curs Mecanica

20 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
deci v ¸si a sunt întotdeauna paralelei, ¸si de asemenea ambii sunt paraleli cu
(P − O). Ultima implică că an = ˙s2
1
ρ = 0 pentru orice t, ¸si deoarece ρ = 0,
mi¸sarea este rectilinie.
Prin urmare, mi¸scarea centrala este una plană. Astfel, putem să o reprezentăm
în coordonare polare cu polul O. Mai mult, vectorul accelerat¸ie este radial,
deoarece are aceea¸si direct¸ie cu (P − O), ¸si va implica că aθ = 1
d
ρ dt ρ2 ˙
θ = 0.
Prin urmare,
ρ 2 θ ˙ = c (1.40)
implică că viteza areolară a mi¸scării lui P fat¸ă de O este constantă ¸si valoarea
sa este dată de formula
˙A = c
,
2
(1.41)
unde c este numită constanta ariilor.
Să demonstrăm acum că, dacă viteza areolară fat¸ă de polul O pentru o
mi¸scare plană este constantă, atunci mi¸scarea este centrală. Într-adevăr, deoarece
aθ = 0, faptul că viteza areolară este constantă implică că accelerat¸ia a = aρ
este mereu îndreptată spre O.
Teoremă 1.1.2 Pentru o mi¸scare centrală având constanta ariilor c, accelerat¸ia
a poate fi determinată, cunoscând doar traiectoria punctului (ρ = ˆρ (θ)), prin
intermediul formulei lui Binet
a = − c2
ρ2 2 d
dθ2
1
+
ρ
1
r. (1.42)
ρ
Demonstrat¸ie. Fat¸ă de un sistem de coordonate polare având originea
în O, ecuat¸ia traiectoriei este ρ = ˆρ(θ). Dacă mi¸scarea este centrală, viteza
areolară este constantă ¸si prin urmare avem, ρ 2 ˙ θ = c; unde acceleralt¸ia este
Pe de altă parte, avem
¸si deci
a = aρr = (¨ρ − ρ ˙ θ 2 )r. (1.43)
˙ρ = dρ
dθ ˙ θ = c
ρ2 dρ d
= −c
dθ dθ
¨ρ = −c d2
dθ 2
1
˙θ = −
ρ
c2
ρ2 d 2
dθ 2
1
, (1.44)
ρ
1
. (1.45)
ρ
Mai mult, folosind relat¸iile (1.40) ¸si (1.45), din relat¸iile (1.43) deducem formula
lui Binet
aρ = − c2
ρ2 2 d
dθ2
1
+
ρ
1
,
ρ
care ne permite să determinăm accelerat¸ia folosind ecuat¸ia traiectoriei ρ = ˆρ(θ)
¸si presupunând cunoscută constanta ariilor c.