Curs Mecanica

74 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
y 2
O
x 2
O ′
H
y 1
Figura 1.26:
γ
γ
Exercit¸iu 1.2.14 Găsit¸i centrul instantaneu al rigidului a cărui mi¸scare este
paralelă cu un plan fix π.
Solut¸ie. Alegem reperul fix astfel încât planul x1Ox2 să coincidă cu planul
dat π. Fie O ′ un punct fix al corpului rigid. Alegem sistemul de referint¸ă ata¸sat
rigidului astfel încât planul y1Oy2 să fie paralel cu planul π. Astfel, viteza unui
punct generic P al corpului rigid este
vP (t) = vO ′ + ω × (P − O′ ).
Dacă P coincide cu centrul instantaneu C, atunci vC(t) = 0 ¸si prin urmare
avem
ω × (C − O ′ ) = −vO ′.
Astfel, obt¸inem
−ω × vO ′ = ω × [ω × (C − O′ )] ,
¸si prin urmare, folosind formula de dezvoltare a dublului produs vectorial, găsim
[ω · (C − O ′ )] ω − ω 2 (C − O ′ ) = −ω × vO ′.
Pentru că ω este perpendicular pe planul π, în timp ce (C − O ′ ) este paralel cu
π, atunci ω · (C − O ′ ) = 0. Centrul C ne este dat de relat¸ia de mai sus ca fiind
′
x 1
C − O ′ = 1
ω × vO ′. (1.194)
ω2 1.2.14 Traiectorii în coordonate polare
Să considerăm o mi¸scare în care curba γ ′ a planului în mi¸scare (O ′ , y1, y2) rulează
pe curba γ a planului fix (O, x1, x2) (Figura 1.26). Presupunem că cele două
curbe sunt destul de regulate ¸si că admit o tangentă comună în punctul de
intersect¸ie H. Vom spune că γ ′ se mi¸scă pe γ.