Curs Mecanica

12 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
Din relat¸ia ˙x(t) = v(t), obt¸inem x(t) = e −t i1 +(− cos 2t+2t)i2 +(−2 sin 2t+
7t)i3 + c, unde c este o constantă oarecare. Deoarece x(0) = −3i1 + 2i2 + i3,
rezultă că i1 − i2 + c = −3i1 + 2i2 + i3 ¸si deci c = −4i1 + 3i2 + i3. Astfel,
mi¸scarea punctului este descrisă de x(t) = (e −t − 4)i1 + (− cos 2t + 2t + 3)i2 +
(−2 sin 2t + 7t + 1)i3.
Exercit¸iu 1.1.5 Mi¸scarea unui punct P este x(t) = ti1 + 1
2t2i2 + 1
6t3i3. Să
se determine accelerat¸ia tangent¸ială ¸si accelerat¸ia normală a punctului la un
moment t.
Solut¸ie. Deoarece ˙x = i1 + ti2 + 1
2 t2 i3 ¸si ¨x = i2 + ti3, rezultă că ds = | ˙x| dt
¸si deci ˙s = 1
2 (t2 + 2), ¨s = t. Mai mult, versorul tangentei la curbă este t =
2i1 + 2ti2 + t2
i3 ¸si
1
t 2 +2
¸si deci
dt
ds
dt dt
=
dt ds =
=
2
(t 2 + 2) 2 [−2ti1 − (t 2 − 2)i2 + 2ti3] dt
ds =
4
(t2 + 2) 3 [−2ti1 − (t 2 − 2)i2 + 2ti3] = 1
ρ n,
n = 1
t2 + 2 [−2ti1 − (t 2 − 2)i2 + 2ti3], 1
ρ =
4
(t2 .
+ 2) 2
Deci, putem concluziona că accelerat¸ia tangent¸ială este at = tt ¸si accelerat¸ia
centripetă este an = n.
1.1.4 Mi¸scări plane
Considerăm punctul P care se mi¸scă într-un plan. Este posibil să descriem
mi¸scarea lui P prin intermediul unui sistem de ecuat¸ii de următoarea formă:
x1 = ˆx1(t),
x2 = ˆx2(t),
unde x1, x2 sunt coordonatele carteziene ale lui P relativ la un sistem de
referint¸ă din planul de mi¸scare. Atunci, viteza ¸si accelerat¸ia pot fi determinate
aplicând formulele din sect¸iunea de mai sus.
Un interesant capitol particular în studiul mi¸scării plane este cel al sistemului
de coordonate polare (ρ, θ), unde ρ = |P − O| ¸si θ = ∠ (OP, Ox1) sunt numite
distant¸ă polară ¸si respectiv unghi polar. Mi¸scarea punctului P va fi descrisă în
coordinate polare de sitemul (Figura 1.5)
ρ = ˆρ(t), θ = ˆ θ(t).
Eliminând variabila t din acest ultim sistem, obt¸inem ecuat¸ia polară ρ = ˆρ(θ)
a traiectoriei punctului P . Deci, dacă O este originea sistemului de referint¸ă ¸si
r = , atunci, prin derivarea identităt¸ii
P −O
|P −O|
(P − O) = ρr, (1.25)