Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE35
olonome pentru a determina gradele de libertate ¸si a parametrilor lagrangiani;
apoi, trebuie să introducem noi legături neolonome cum ar fi noi ecuat¸ii sau inegalităt¸i.
Dacă q1, q2, . . . , qn sunt parametri lagrangiani a unui sistem cu n grade
de libertate, atunci legătura neolonomă de tipul (1.66) poate fi reprezentată ca
n
Ai(q; t) ˙qi + α(q; t) = 0. (1.73)
i=1
Exercit¸iu 1.2.1 Pentru oricare din următoarele cazuri, determinat¸i dacă legătură
este olonomă sau neolonomă: a) un punct material care se mi¸scă pe un cerc;
b) un punct material greu care se mi¸scă pe un plan înclinat; c) o placă rigidă
alunecând pe un plan fixat x1Ox2; d) un punct material P de coordonate (x1, x2, x3)
este fort¸at să se mi¸ste în a¸sa fel încât componentele vitezei satisfac următoarea
relat¸ie ˙x1 = f(x2, x3) ( ˙x2 + ˙x3), cu ∂f ∂f
= ; e) o lama subt¸ire rigidă fixată
∂x2 ∂x3
pe o placă rigidă care alunecă pe un plan fixat x1Ox2.
Solut¸ie. a) Punctul se mi¸scă pe o curbă ¸si deci este o legătură olonomă.
b) Punctul se mi¸scă pe o suprafat¸ă ¸si deci legătura este olonomă.
c) Placa rigidă se mi¸scă pe un planul înclinat fixat ¸si legătura este olonomă.
d) Dacă această legătură ar fi olonomă, atunci poate fi scrisă în următoarea
formă F (x1, x2, x3) = 0. Din această ipoteză, deducem că
∂F
∂x1
¸si aceasta coincide cu relat¸ia de legătură
dx1 + ∂F
dx2 +
∂x2
∂F
dx3 = 0,
∂x3
dx1 − f(x2, x3)dx2 − f(x2, x3)dx3 = 0,
dacă ¸si numai dacă există λ(x1, x2, x3) astfel ca
∂F
= λ,
∂x1
∂F
= −λf,
∂x2
∂F
= −λf.
∂x3
Dacă vom egala derivatele mixte de ordinul doi ale funct¸iei F , obt¸inem
∂λ
∂x2
¸si deci deducem că
= ∂λ
= −
∂x3
∂λ
f, −
∂x1
∂λ
f − λ
∂x3
∂f
= −
∂x3
∂λ
f − λ
∂x2
∂f
,
∂x2
∂f
∂x2
o relat¸ie care contrazice ipoteza că ∂f
∂x2
= ∂f
,
∂x3
∂f
= . Prin urmare, avem o legătură
∂x3
neolonomă.
e) Deoarece avem o mi¸scare de alunecare, fără rotat¸ie ¸si fără pivotare, rezultă
că viteza unui punct P al lamei subt¸iri este tangentă la lamă. Dacă vom nota
cu x1 ¸si x2 coordonatele punctului ¸si cu θ unghiul format de lamă cu axa Ox1,