Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE55
Substituind relat¸ia (1.138) în (1.122), obt¸inem următoarea formă pentru câmpul
viteză:
ω · v0
v =
ω2
ω + ω× P − O ′ − 1
(ω × v0) ,
ω2 (1.139)
care este o suma a două componente: una este paralelă cu viteza unghiulară
iar cealaltă se află într-un plan ortogonal pe ω. Componenta ω·v0
ω2 ω poartă
numele de viteza de lunecare, în timp ce cealaltă componentă, perpendiculară
pe ω, reprezintă o viteză de rotat¸ie. Din moment ce viteza punctelor de pe
axa instantanee de roto–translat¸ie L este paralelă cu viteza unghiulară ω(t), din
relat¸ia (1.139) deducem că ecuat¸ia vectorială a dreptei L este
P − O ′ = 1
ω 2 (ω × v0) + λω(t), λ ∈ R. (1.140)
Luând produsul interior a relat¸iei (1.139) cu ω, obt¸inem următoarea proprietate
v(t) · ω(t) = v0(t) · ω(t), (1.141)
adică produsul v(t) · ω(t) este independent de punctul P pe axa instantanee de
roto–translat¸ie.
Axa instantanee de roto–translat¸ie a unui copr rigid de obicei se schimbă
în timp ¸si nu este compusă dintr-o mult¸ime de puncte fixe din rigid. Locurile
geometrice ale axei instantanee de roto–translat¸ie în raport cu sistemele de
coordonate fix ¸si mobil sunt două suprafet¸e plane, ce poartă numele de axoid
fix ¸si mobil, respectiv.
Definit¸ie 1.2.16 Mi¸scarea unui corp rigid se nume¸ste mi¸scare rigidă plană
dacă vitezele puntelor corpului sunt întotdeauna paralele cu un plan fix π.
Teoremă 1.2.3 Pentru cazul mi¸scării rigide plane, starea de mi¸scare este totdeauna
de rotat¸ie ¸si de translat¸ie.
Demonstrat¸ie. Alegem ca sistemul de referint¸ă (O, x1, x2, x3) să fie fix în
spat¸iu, astfel încât axa x3 să fie ortogonală pe π. Sistemul de axe ata¸sat corpului
(O ′ , y1, y2, y3) poate fi ales totdeauna astfel încât axa y3 să aibe accea¸si direct¸ie
precum x3. Prin urmare, versorul j3 este constant. Dacă ω = 0, din formula lui
Poisson avem că
dj3
dt = ω × j3 = 0.
Astfel, ω trebuie să fie paralel cu j3, în timp ce viteza vO ′ din (1.128) este
ortogonală pe j3. Prin urmare, luând în considerare că în aceste ipoteze există
un punct O ′′ astfel încât
din (1.128) obt¸inem
vO ′ = ω × (O′ − O ′′ ),
vP (t) = ω(t) × (O ′ − O ′′ ) + ω(t) × (P − O ′ ) =
= ω(t) × (P − O ′′ ), (1.142)