Curs Mecanica

48 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
Solut¸ie. T¸ inând cont de rotat¸iile efectuate prin schema lui Euler, date de
relat¸iile (1.101), (1.105) ¸si (1.109), deducem că
i1 = (cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ) j1 − (sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cos ϕ) j2 +
+ sin θ sin ψj3,
i2 = (cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ) j1 + (− sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ) j2 −
− sin θ cos ψj3,
Din aceste relat¸ii, vom deduce că
i3 = sin ϕ sin θj1 + cos ϕ sin θj2 + cos θj3. (1.117)
j1 = (cos ϕ cos ψ − cos θ sin ψ sin ϕ) i1 + (cos ϕ sin ψ + cos θ cos ψ sin ϕ) i2 +
+ sin ϕ sin θi3,
j2 = − (sin ϕ cos ψ + cos θ sin ψ cos ϕ) i1 + (− sin ϕ sin ψ + cos θ cos ψ cos ϕ) i2 +
+ cos ϕ sin θi3,
j3 = sin θ sin ψi1 − sin θ cos ψi2 + cos θi3. (1.118)
Exercit¸iu 1.2.7 În schema de rotat¸ie a lui Euler, exprimat¸i vectorii viteză
unghiulară ωψ, ωθ, ωϕ în sistemul fix de coordonate.
Solut¸ie. Considerând defiit¸iile unghiului de presesie ψ ¸si a vectorilui unitate
n, avem (vezi Figura 1.16)
n = cos ψi1 + sin ψi2.
Astfel, relat¸iile (1.102), (1.106), (1.110) ¸si (1.118), ne conduc la
ωψ = ˙ ψi3, ωθ = ˙ θ (cos ψi1 + sin ψi2) ,
ωϕ = ˙ϕ (sin θ sin ψi1 − sin θ cos ψi2 + cos θi3.) (1.119)
Exercit¸iu 1.2.8 Transformarea din sistemul fix de coordonate (O ′ , z1, z2, z3)
în sistemul ata¸sat corpului (O ′ , y1, y2, y3) este descrisă prin următoarea matrice
de rotat¸ie
A = 1
⎛
⎝
8
2 √ 6 − √ 2 2 √ 6 + √ 2 2 √ 3
− √ 6 − 2 √ 2 √ 6 − 2 √ 2 6
2 √ 6 −2 √ 6 4
Utilizând schema de rotat¸ie a lui Euler de mai sus, găsit¸i unghiurile lui Euler
care descriu orientarea relativă a corpului în sistemele de mai sus.
⎞
⎠ .