Curs Mecanica

6 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x 1
O
x 3
O 1
s
Figura 1.2:
P
Exercit¸iu 1.1.2 Presupunem că traiectoria unui punct P este cercul de intersect¸ie
dintre sfera x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = R 2 , R > 0, cu planul x3 = R cos θ0, θ0 fixat
în (0, π). Să se determine mi¸scarea punctului P având ecuat¸ia orară s = t,
t ∈ [0, √ 2πR sin θ0].
Solut¸ie. Traiectoria este descrisă de
x1 = R sin θ0 cos ϕ, x2 = R sin θ0 sin ϕ, x3 = R cos θ0, ϕ ∈ [0, 2π].
Deoarece s = (R sin θ0) ϕ ¸si ecuat¸ia orară este s = t, rezultă că ϕ =
t ∈ [0, √ 2πR sin θ0]. Dacă alegem a = R sin θ0, atunci mi¸scarea este dată de
x1 = a cos t
a , x2 = a sin t
a , x3 = R cos θ0, t ∈ [0, √ 2πa].
1.1.3 Viteză ¸si accelerat¸ie
x 2
t
R sin θ0 ,
Considerăm un punct material a cărui mi¸scare este descrisă de sistemul (1.6).
Presupunând traiectoria P = ˆ P (s) fixată, mi¸scarea este definită simplu de
ecuat¸ia orară s = ˆs(t).
Definit¸ie 1.1.4 Numim viteză a punctului P de-a lungul traiectoriei ˆ P (s)
derivata lui ˆs în raport cu timpul, ¸si o notăm cu ( 4 ) prin
v(t) def
= dˆs(t)
. (1.8)
dt
4 Pentru a evita confuziile, vom nota întotdeauna derivata în raport cu timpul printr-un
punct plasat deasupra funct¸iei considerate, adică, dˆs/dt = ˙s, ¸si nu vom face distinct¸ie dintre
punctul P ¸si funct¸ia corespunzătoare ˆ P .