Curs Mecanica

More documents

Recommendations

Info

40 CAPITOLUL 1. CINEMATICA În formă matriceală, (1.88) poate fi reprezentată astfel AA T = 1, unde 1 este matricea unitate. Prin urmare, matricea A = (αhk) este ortogonală, ¸si astfel reprezintă rotat¸ia, numită rotat¸ia tripletului (O ′ , y1, y2, y3) fat¸ă de sistemul de referint¸ă centrat în O ′ ¸si având axele paralele cu axele reperului x1, x2, x3. Deci, pentru a determina pozit¸ia unui rigid, este suficient să spunem configurat¸ia tripletului fix din el. Pentru aceasta, este necesar să definim în mod precis cele trei coordonate ale punctului O ′ ¸si cele nouă cosinusuri αhk, care, totu¸si, sunt legate între ele prin ¸sase relat¸ii (1.88). Observat¸ie 1.2.1 Un rigid are ¸sase grade de libertate. Totu¸si, pentru a determina configurat¸ia tripletei solidare cu rigidul, avem nevoie de nouă parametri independent¸i. Ace¸sti parametri pot fi coordonatele originii O ′ ¸si trei unghiuri independente, astfel sunt unghiurile lui Euler, care, după cum vom demonstra, pot fi folosit¸i pentru a defini componentele matricei de rotat¸ie. În final, mi¸scarea sistemului rigid este cunoscută dacă mi¸scarea punctului O ′ ¸si legea de schimbare a cosinusurilor αhk sunt determinate; adică xh(t) = ch(t) + 3 αhk(t)yk, (1.89) unde yk sunt coordonatele punctului P relativ la sistemul de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) ¸si care nu depind de timp. Astfel, mi¸scarea unui rigid poate fi considerată ca suma a două mi¸scări independente, o translat¸ie a unui punct al corpului plus o rotat¸ie în jurul acestui punct. Exercit¸iu 1.2.4 O lamă dreptunghiulară ABCD cu dimensiunile AB = 10 ¸si BC = 20 se mi¸scă astfel încât rămâne mereu paralelă cu un plan fixat x1Ox2. Mi¸scarea punctului O ′ (c1, c2, c3), de intersect¸ie a diagonalelor lamei, fat¸ă de un sistem de referint¸ă fix (O, x1, x2, x3) este descrisă de c1(t) = t 2 + 1, c2(t) = t 2 − 1, c3(t) = 2t. Reperul solidar cu rigidul (O ′ , y1, y2, y3) are o mi¸scare descrisă de j1 = cos θi1 + sin θi2, j2 = − sin θi1 + cos θi2, j3 = i3, ¸si θ = πt. Să se determine coordonatele x1, x2, x3 ale vârfurilor lamei la momentul t = 1. Solut¸ie. Fat¸ă de un sistem de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3), punctele A, B, C, D pot fi date (de exemplu) de A(−5, −10, 0), B(5, −10, 0), C(5, 10, 0), D(−5, 10, 0). La momentul t = 1, pozit¸ia sistemului de referint¸ă (O ′ , y1, y2, y3) este dată de O ′ − O = 2i1 + 2i3 ¸si j1 = −i1, j2 = −i2, j3 = i3, ¸si astfel avem Deci, deducem că k=1 x1i1 + x2i2 + x3i3 = 2i1 + 2i3 + y1j1 + y2j2. x1 = 2 − y1, x2 = −y2, x3 = 2. Prin urmare, înlocuid y1 = −5, y2 = −10 în relat¸iile de mai sus, deducem coordonatele punctului A fat¸ă de un sistem de referint¸ă (O, x1, x2, x3) ca fiind Ax(7, 10, 2). Similar, deducem că Bx(−3, 10, 2), Cx(−3, −10, 2) ¸si Dx(7, −10, 2).
1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE41 1.2.3 Mi¸scări particulare ale rigidului Înainte de a studia mi¸scarea unui corp rigid în forma sa generală, vom considera câteva forme particulare ale mi¸scării. În plus, atunci când vorbim despre mi¸scare, ne vom referi întotdeauna la un interval de timp alocat pe care îl vom nota cu I ⊂ R. Mi¸scarea de translat¸ie Definit¸ie 1.2.7 Spunem că un rigid execută o mi¸scare de translat¸ie dacă orice reper solidar cu rigidul are o mi¸scare de translat¸ie fat¸ă de un reper fix în spat¸iu, adică matricea cosinusurilor directoare αhk este constantă în tot timpul mi¸scării. Deoarece xh(t) = ch(t) + ¸si αhk ¸si yk sunt constante, deducem 3 k=1 αhkyk, ˙xh = ˙ch, ¨xh = ¨ch. Observat¸ie 1.2.2 În timpul unei mi¸scări de translat¸ie, toate punctele rigidului au aceea¸si viteză ¸si aceea¸si accelerat¸ie. Viteza comună a tuturor punctelor corpului poartă numele de câmpul vitezei de translat¸ie. Reciproca este de asemenea adevărată: dacă la fiecare moment toate punctele din rigid au aceea¸si viteză atunci rigidul execută o mi¸scare de translat¸ie. Astfel, o mi¸scare de translat¸ie poate fi definită prin formula vP (t) = u(t), t ∈ I, (1.90) unde vP reprezintă viteza unui punct arbitrar P , ¸si u este un vector care nu depinde de P , pe care îl vom alege să fie egal cu viteza v(O ′ ) a originii O ′ . Cu ajutorul relat¸iei (1.90), putem deduce următoare formulă pentru deplasarea relativă elementară a punctului P : dP = udt = dO ′ . Exemplu 1.2.1 Un paralelogram articulat ABCD (figure 1.14) este format din trei bare AB, BC ¸si CD. Punctele A ¸si D sunt fixe iar barele AB ¸si CD se pot roti în jurul lor, în timp ce barele sunt conenctate în punctele B ¸si C prin legături articulate. Astfel mi¸scarea barei BC este de translat¸ie, pentru că sistemul de referint¸ă (B, y1, y2) fixat de bara BC nu-¸si schimbă orientarea în raport cu sistemul fix de referint¸ă (A, x1, x2). Definit¸ie 1.2.8 O mi¸scare de translat¸ie se nume¸ste translat¸ie rectilinie (uniformă) dacă mi¸scarea unui punct arbitrar din rigid este rectilinie (uniformă).
Page 1: INTRODUCERE ÎN MECANICA CLASICĂ:
Page 4 and 5: iv CUPRINS
Page 6 and 7: 2 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Asociem E
Page 8 and 9: 4 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 i 3 O
Page 10 and 11: 6 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O x 3
Page 12 and 13: 8 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O x 3
Page 14 and 15: 10 CAPITOLUL 1. CINEMATICA P(s) t(s
Page 16 and 17: 12 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Din rela
Page 18 and 19: 14 CAPITOLUL 1. CINEMATICA unghiula
Page 20 and 21: 16 CAPITOLUL 1. CINEMATICA din care
Page 22 and 23: 18 CAPITOLUL 1. CINEMATICA unde t
Page 24 and 25: 20 CAPITOLUL 1. CINEMATICA deci v
Page 26 and 27: 22 CAPITOLUL 1. CINEMATICA pentru a
Page 28 and 29: 24 CAPITOLUL 1. CINEMATICA unde ω
Page 30 and 31: 26 CAPITOLUL 1. CINEMATICA A O x P*
Page 32 and 33: 28 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O θ
Page 34 and 35: 30 CAPITOLUL 1. CINEMATICA mi¸scă
Page 36 and 37: 32 CAPITOLUL 1. CINEMATICA O x 2 R(
Page 38 and 39: 34 CAPITOLUL 1. CINEMATICA cu const
Page 40 and 41: 36 CAPITOLUL 1. CINEMATICA atunci x
Page 42 and 43: 38 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O x
Page 46 and 47: 42 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 2 y 2
Page 48 and 49: 44 CAPITOLUL 1. CINEMATICA de coord
Page 50 and 51: 46 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Din mome
Page 52 and 53: 48 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Solut¸i
Page 54 and 55: 50 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Observat
Page 56 and 57: 52 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Mai mult
Page 58 and 59: 54 CAPITOLUL 1. CINEMATICA exista
Page 60 and 61: 56 CAPITOLUL 1. CINEMATICA care est
Page 62 and 63: 58 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 O 1
Page 66 and 67: 62 CAPITOLUL 1. CINEMATICA Observat
Page 68 and 69: 64 CAPITOLUL 1. CINEMATICA 3 0 ) Pe
Page 70 and 71: 66 CAPITOLUL 1. CINEMATICA y 2 O x
Page 72 and 73: 68 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x ′ 1
Page 74 and 75: 70 CAPITOLUL 1. CINEMATICA x 1 π x
Page 76 and 77: 72 CAPITOLUL 1. CINEMATICA A O x 2
Page 78 and 79: 74 CAPITOLUL 1. CINEMATICA y 2 O x
Page 80 and 81: 76 CAPITOLUL 1. CINEMATICA B B O H
Page 82 and 83: 78 CAPITOLUL 1. CINEMATICA O x 2 x
Page 84 and 85: 80 CAPITOLUL 1. CINEMATICA y 3 x 1
Page 88 and 89: 84 BIBLIOGRAFIE [15] Graffi, D., El
Page 90 and 91: 86 BIBLIOGRAFIE [51] Slater, J. C.
Page 92 and 93: 88 GLOSAR Clausius-Duhem inequality
Page 94 and 95:
90 GLOSAR isochoric deformation, ??
Page 96 and 97:
92 GLOSAR rotational kinetic state,
show all

Curs Mecanica

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?