Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE51
1.2.6 Formula lui Poisson
Să determină starea generală de mi¸scare pentru un corp rigid. În acest scop,
vom diferent¸ia ecuat¸ia (1.83) în raport cu timpul pentru a obt¸ine
d
vP (t) = vO ′(t) +
dt (P − O′ ). (1.123)
Observând că P − O ′ = y1j1 + y2j2 + y3j3, unde yi (i = 1, 2, 3) nu se schimbă în
timp, putem scrie (1.123) în formă următoare:
vP (t) = vO ′(t) +
3
h=1
yh
djh
. (1.124)
dt
Teoremă 1.2.1 (Formula lui Poisson) Fie j1, j2, j3 un triplet ortonormat
de vectori care variază în timp. Atunci, există un vector ω depinzând de timp
astfel încât
djh
dt (t) = ω(t) × jh(t), h = 1, 2, 3. (1.125)
Demonstrat¸ie. Pentru că jh are modulul constant, adică
jh · jh = 1 pentru orice h = 1, 2, 3,
printr-o diferent¸iere directă în raport cu timpul, obt¸inem
djh
dt · jh = 0 pentru orice h = 1, 2, 3.
Pentru că djh/dt ¸si jh sunt ortogonali, rezultă din egalitatea din urmă că există
o familie de vectori ωh (astfel încât componentele lor de-alungul jh pot fi alese
în mod arbitrar) care satisface (vezi A.6, (A.41))
djh
dt = ωh × jh, pentru orice h = 1, 2, 3. (1.126)
Folosindu-ne de posibilitatea de a alege în mod arbitrar pe ωh, vom arăta că
există un ω astfel încât ωh = ω pentru h = 1, 2, 3. În acest scop, pentru că
jh · jk = 0 pentru h = k, deducem că
djh
djk
· jk = −jh · . (1.127)
dt
dt
Astfel, folosind (1.126) ¸si pentru h = 1, k = 2, din (1.127) obt¸inem
ω1 × j1 · j2 = −j1 · ω2 × j2.
Folosind proprietăt¸ile produsului mixt, din ultima egalitate rezultă că
ω1 · j3 = ω2 · j3.