Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE73
D
O
x 2
A
Figura 1.25:
¸si, pentru orice punct P (x1, x2, x3), găsim
¸si astfel deducem că
C
B
x1i1 + x2i2 + x3i3 = c1i1 + c2i2 + c3i3 + y1j1 + y2j2 + y3j3
x1 = c1 + y1 cos θ − y2 sin θ, x2 = c2 + y1 sin θ + y2 cos θ, x3 = y3.
Substituind funct¸iile c1, c2, c3 ¸si θ în formula de mai sus, obt¸inem
x1 = t 3 + 2 + y1 cos π(t 2 − t) − y2 sin π(t 2 − t) ,
x2 = 1 − t 3 + y1 sin π(t 2 − t) + y2 cos π(t 2 − t) ,
x3 = y3.
a) La momentul t = 2, avem
x1 = 10 + y1, x2 = −7 + y2, x3 = y3
¸si prin urmare coordonatele punctului P1(y1 = 10, y2 = 0, y3 = 0) sunt x1 = 20,
x2 = −7, x3 = 0, în timp ce coordonatele punctului P2(y1 = 0, y2 = 5, y3 = 0)
sunt x1 = 10, x2 = −2, x3 = 0.
b) Printr-o diferent¸iere directă, obt¸inem următorul câmp al vitezelor:
˙x1 = 3t 2 − π(2t − 1)y1 sin π(t 2 − t) − π(2t − 1)y2 cos π(t 2 − t) ,
˙x2 = −3t 2 + π(2t − 1)y1 cos π(t 2 − t) − π(2t − 1)y2 sin π(t 2 − t) ,
˙x3 = 0.
Înlocuind y1 = 1, y2 = 3, y3 = 0 în relat¸ia de mai sus, obt¸inem viteza punctului
P3 :
v = 3t 2 − π(2t − 1) sin π(t 2 − t) − 3π(2t − 1) cos π(t 2 − t) i1 +
+ −3t 2 + π(2t − 1) cos π(t 2 − t) − 3π(2t − 1) sin π(t 2 − t) i2.
x 1