Curs Mecanica

1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 15
P
O
Figura 1.6:
x 2
θ
P 0
ρ ˙ θ = k, unde k = ± c1 − c 2 2 este constant. Atunci, avem ˙ θ = k
c2t+ρ0
consecint¸ă, dacă θ(0) = 0, deducem că
θ = k
c2
Rezultă din ultima expresie că
log(c2τ + ρ0)| t 0 = k
ρ = ρ0 exp( c2
k θ),
¸si traiectoria este spirala logaritmică (Figura 1.6).
c2
x 1
log ρ
.
ρ0
¸si în
2 θ p
Exercit¸iu 1.1.8 Traiectoria unei mi¸scări este parabola ρ cos 2 = 2 , p > 0.
Un punct P se mi¸scă pe această parabolă asfel încât v = kρ, unde k este o
constantă pozitivă. La momentul t = 0 punctul este în vârful parabolei ¸si se
mi¸scă în sensul în care θ cre¸ste. Determinat¸i ecuat¸iile de mi¸scare ¸si vectorii
accelerat¸ie radială ¸si transversală.
Solut¸ie. Avem următoarele condit¸ii init¸iale:
ρ(0) = p
, θ(0) = 0,
2
¸si, în plus, θ(t) ˙ 2 2 > 0. Din relat¸ia v = kρ, deducem că ˙ρ + ρ θ˙ 2 2 2 = k ρ . În
continuare vom determina ˙ρ ¸si θ. ˙ Pentru aceasta, derivăm ecuat¸ia parabolei
pentru a obt¸ine ˙ρ cos θ
2 − ρ ˙ θ sin θ
2 = 0. Astfel, din aceste două relat¸ii de mai sus,
deducem că
˙ρ = ±kρ sin θ
2 , θ ˙
θ
= ±k cos
2 ,