Curs Mecanica

1.1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 29
1.1.10 Mi¸scări elicoidale
Considerăm un cilindru circular de rază R. Numim elice circulară o formă
descrisă de o curbă care intersectează mereu generatoarea cilindrului sub un alt
unghi (Figura 1.11).
Definit¸ie 1.1.14 Mi¸scarea unui punct P pe o suprafat¸ă cilindrică este numită
elicoidală dacă punctul P se mi¸scă pe cilindru după o elice.
Alegem un sistem cartezian ortogonal (O, x1, x2, x3) astfel ca axa x3− să
coincidă cu axa cilindrului. Apoi, notăm cu θ unghiul dintre proiect¸ia (P ∗ − O)
a lui (P − O) pe planul x1Ox2 ¸si axa x1.
Este posibil să reprezentăm mi¸scarea punctului folosind următoarea expresie
a vectorului (P − O) :
P − O = (P − P ∗ ) + (P ∗ − O). (1.62)
Deoarece mi¸scarea punctului P ∗ este una circulară, alegând convenabil sistemul
de referint¸ă (O, x1, x2, x3), obt¸inem
P − O = R cos θi1 + R sin θi2 + hθi3,
unde h este un parametru ales astfel ca |P − P ′ | = 2πh. Observă că |P − P ′ |
reprezintă distant¸a dintre două puncte consecutive ale elicei, situate pe aceea¸si
generatoare ¸si numită pasul elicei. Din ultima relat¸ie obt¸inem
x1 = R cos θ, x2 = R sin θ, x3 = hθ.
Acest sistem reprezintă (elicea) drumul lui P , în timp ce ecuat¸ia orară este dată
în termenii lui θ, de funct¸ia θ = ˆ θ(t).
Dacă mi¸scarea este uniformă, atunci avem ˙ θ = constant, ¸si mi¸scarea va fi
numită elicoidală ¸si uniformă.
Folosind formula (1.62), este posibil să obt¸inem următoarea descompunere
a vitezei:
v =
d(P − O)
dt
= d(P − P ∗ )
dt
Deoarece mi¸scarea lui P ∗ este circulară, avem
Astfel, din ω(t) = ˙ θ(t)i3, obt¸inem
v = h ˙ θi3 + ˙ θi3 × (P ∗ − O).
v = hω + ω × (P ∗ − O).
+ d(P ∗ − O)
.
dt
Ultima relat¸ie demonstrează că viteza are două componente, prima corespunde
unei mi¸scări rectilinii de-a lungul axei x3− ¸si ce-a de a doua corespunde unei