Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE67
fix în spat¸iu. Utilizând teorema copunerii vitezelor ¸si accelerat¸iilor, putem determina
mi¸scare lui P în raport cu sistemul fix de referint¸ă. De fapt, dacă v
este modului vitezei lui P de-alungul dreptei r, atunci avem
vr = vj1, vτ = ωi3 × (P − O), (1.184)
unde j1 este versorul dreptei r care are aceea¸si direct¸ie cu vr. Prin urmare, dacă
momentul init¸ial al măsurării timpului este ales acela când unghiul P Ox1 = ωt,
atunci avem
j1 = cos ωti1 + sin ωti2,
y1 = vt + x0,
unde x0 semnifică pozit¸ia init¸ială a lui P pe r, când r coincide cu axa x1. Astfel,
prin Teorema Compunerii Vitezelor, putem concluziona că
va = vj1 + ωi3 × (vt + x0)j1
= v(cos ωti1 + sin ωti2) + ω(vt + x0) cos ωti2 − ω(vt + x0) sin ωti1.
Din ultima egalitate deducem
˙x1 = v cos ωt − ω(vt + x0) sin ωt,
˙x2 = v sin ωt + ω(vt + x0) cos ωt. (1.185)
Folosind condit¸iile init¸iale din nou, este u¸sor să verificăm că (1.185) implică
¸si, în consecint¸ă,
x1 = (vt + x0) cos ωt,
x2 = (vt + x0) sin ωt, (1.186)
x1
x2
= cot ωt.
În cele din urmă, dacă introducem sistemul polar de referint¸ă (ρ, θ) astfel
, atunci, din (1.186), obt¸inem
încât ρ = y1 ¸si θ = ωt = arccot x1
x2
ρ =
x 2 1 + x2 2 = vt + x0 = v
ω θ + x0. (1.187)
Din (1.187) rezultă că traiectoria este spirala lui Arhimede.
În ce prive¸ste accelerat¸ia absolută, observăm că
ar = 0, a τ = −ω 2 (P − O), ac = 2ωi3 × vj1.
Astfel, în funct¸ie de componentele radială ¸si transversală, găsim
aa = −ω 2 y1r + 2ωvh,
unde am introdus notat¸iile r = j1, h = i3 × j1.