Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE69
lui (O ′ , n, n ′′ , x ′ 3) relativ la (O ′ , x ′ 1, x ′ 2, x ′ 3). Prin urmare,
ω = ˙ϕj3 + ˙ θn+ ˙ ψi3. (1.188)
Dacă ω = ω1j1 + ω2j2 + ω3j3 ¸si folosim relat¸iile (1.105), (1.109) ¸si (1.117),
atunci din relat¸ia (1.188) găsim
ω1 = ˙ θ cos ϕ + ˙ ψ sin θ sin ϕ,
ω2 = − ˙ θ sin ϕ + ˙ ψ sin θ cos ϕ, (1.189)
ω3 = ˙ϕ + ˙ ψ cos θ.
Exercit¸iu 1.2.12 În schema de rotat¸ie a lui Euler, găsit¸i relat¸iile care exprimă
componentele vitezei unghiulare ω a rigidului, în funct¸ie de tripletul i1, i2, i3,
în termenii unghiurilor lui Euler.
Solut¸ie. Dacă ω = ω 0 1i1 + ω 0 2i2 + ω 0 3i3, atunci, prin intermediul relat¸iilor
(1.118) ¸si (1.188) ¸si considerând n = cos ψi1 + sin ψi2, obt¸inem următoarele
rela¸tii:
ω 0 1 = ˙ θ cos ψ + ˙ϕ sin θ sin ψ,
ω 0 2 = ˙ θ sin ψ − ˙ϕ sin θ cos ψ,
ω 0 3 = ˙ ψ + ˙ϕ cos θ.
1.2.13 Mi¸scări rigide plane
Ne reamintim că am definit mi¸scarea rigidă plană ca fiind mi¸scarea rigidă în
care vitezele punctelor trebuie să rămână permanent paralele cu un plan fix π.
Mai mult, pentru că axa y3 a sistemului de referint¸ă ata¸sat corpului poate fi
aleasă astfel încât să fie permanent paralelă cu axa x3 a sistemului de referint¸ă
fix, este de asemenea posibil să alegem originea O ′ astfel ca, în timpul mi¸scării,
planele (x1, x2) ¸si (y1, y2) să coincidă întotdeauna cu planul π (Figura 1.22).
Deoarece configurat¸ia corpului este determinată atunci când pozit¸ia tripletului
ata¸sat corpului este determinată, putem spune:
Observat¸ie 1.2.20
În timpul unei mi¸scări rigide plane, corpul posedă trei grade
de libertate. Doi parametri care descriu această mi¸scarea sunt coordonatele lui
O ′ în planul (x1, x2) iar al treilea este unghiul format de axa y1 cu axa x1. Ace¸sti
parametri determină în mod unic configurat¸ia corpului. Astfel, mi¸scare corpului
este determinată de mi¸scare sistemului (O ′ , y1, y2), sau, dintr-un punct de
vedere mai general, de mi¸scarea figurii plane rigide dată de intersect¸ia corpului
cu panul (O, x1, x2).
Mai mult, după cum am demonstrat în Theorem 1.2.3, la fiecare moment,
starea de mi¸scare este de rotat¸ie sau de translat¸ie. Deoarece cazul de mai sus
poate fi considerat un caz degenerat al cazului stării de mi¸scare de rotat¸ie cu axa
instantanee de rotat¸ie la infinit, vom presupune în consecint¸ă că starea cinetică
este întotdeauna de rotat¸ie.