Curs Mecanica

1.2. CINEMATICA SISTEMELOR MATERIALE S¸I CORPURILOR RIGIDE79
x 2
O
dw
dt
− a M
× (A − M)
− ω 2 (A − M)
A
a M
M
dω
dt h − ω2 r
P
Figura 1.30:
dw
dt
× (P − M)
− ω 2 (P − M)
1.2.15 Accelerat¸ia unei mi¸scări rigide plane
Pentru a determina distribut¸ia accelerat¸iilor punctelor unei figuri plane care se
mi¸scă în plan, pornim de la relat¸ia (1.146), pe care o scriem în raport cu un
punct M a figurii plane (Figura 1.30), sub următoarea formă:
aP = aM + dω
dt × (P − M) − ω2 (P − M). (1.202)
Teoremă 1.2.10 Pentru o mi¸scare rigidă plană, distribut¸ia accelerat¸iilor este
aceea¸si ca pentru mi¸scarea în jurul unui punct A, numit pol al accelerat¸iei, cu
viteza unghiulară ω ¸si accelerat¸ia unghiulară dω
dt .
Demonstrat¸ie. Deoarece ω are o direct¸ie constantă, dω/dt are aceea¸si
direct¸ie ca ω. Astfel, dω
dt × (P − M) apart¸ine aceluia¸si plan cu figura ¸si este
P −M
ortogonal pe (P − M), a cărui direct¸ie o vom nota cu h. Stabilim r = |P −M| ¸si
observăm că diferent¸a
dω
dt × (P − M) − ω2
dω
(P − M) = |P − M|
dt h − ω2
r (1.203)
este un vector care are modulul proport¸ional cu |−M| ¸si are direct¸ia astfel încât
unghiul pe care-l formează cu (P − M) să nu depindă de P , deoarece dω/dt
¸si ω 2 nu depind de P . Vectorii h ¸si r sunt totdeauna mutul ortogonali. De
aceea, există un punct A al figurii plane astfel încât expresia (1.203) calculată
în raport cu acel punct să fie egală cu −aM . Astfel, accelerat¸ia aA a acelui
punct se anulează. Dacă stabilim O ′ = A în relat¸ia (1.146), obt¸inem
x 1
aP = dω
dt × (P − A) − ω2 (P − A). (1.204)
Distribut¸ia accelerat¸iilor este aceea¸si ca în cazul mi¸scării de rotat¸ie în jurul lui
A cu viteza unghiulară ω ¸si cu accelerat¸ia unghiulară dω/dt.