Curs Mecanica

18 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
unde t ∗ ∈ [t, t + ∆t] ¸si ∆θ = θ(t + ∆t) − θ(t). Cu alte cuvinte, există un moment
t ∗ astfel ca aria ∆A este egală cu aria sectorului circular cu unghiul la centru
∆θ ¸si raza ρ(t ∗ ). Astfel, din (1.35) ¸si (1.36), obt¸inem
˙A(t) = 1
2 ρ2 (t) ˙ θ(t). (1.37)
În coordonate carteziene, deoarece x1 = ρ cos θ, x2 = ρ sin θ, avem
˙x1 = ˙ρ cos θ − ρ ˙ θ sin θ, ˙x2 = ˙ρ sin θ + ρ ˙ θ cos θ,
x1 ˙x2 − x2 ˙x1 = ρ 2 ˙ θ cos 2 θ + ρ ˙ρ sin θ cos θ − ρ ˙ρ sin θ cos θ + ρ 2 ˙ θ sin 2 θ
= ρ 2 ˙ θ,
¸si deci ecuat¸ia vitezei areolare poate fi scrisă ca
˙A = 1
2 (x1 ˙x2 − x2 ˙x1). (1.38)
Exercit¸iu 1.1.10 Mi¸scarea unui punct P pe suprafat¸a plană (O, x1, x2) este
dată de ecuat¸iile carteziane
x1 = C exp(−pt), x2 = C exp(pt), C > 0, p > 0.
Să se determine traiectoria, viteza areolară fat¸ă de O, ¸si componentele radială
¸si transversală a vectorului accelerat¸ie.
Solut¸ie. Eliminând timpul t din ecuat¸iile de mi¸scare, obt¸inem
x1 · x2 = C 2 .
Prin urmare, traiectoria este o ramură a unei hiperbolei (Figura 1.8) situată în
primul cadran al sistemului de coordonate. Mai mult, viteza areolară este dată
de formula
˙A = 1
2 (x1 ˙x2 − x2 ˙x1)
= 1 2 2 2
C p exp(−pt) exp(pt) + C p exp(−pt) exp(pt) = C p.
2
Deoarece viteza areolară este constantă, componenta transversală a accelerat¸iei
este aθ = 0, în timp ce componenta radială dă accelerat¸ia totală ¸si deci
aρ = a = ¨x 2 1 + ¨x2 2 = Cp2exp(−2pt) + exp(2pt) = p 2 ρ,
unde ρ este distant¸a dintre P ¸si O, care este dată de formula
ρ = x2 1 + x22 = Cexp(−2pt) + exp(2pt).