Curs Mecanica

42 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
x 2
y 2
A D
B C
Mi¸scarea de rotat¸ie
Figura 1.14:
Cosiderăm un corp rigid care cont¸ine o axă fixă care face obiectul următoarelor
constrângeri: două puncte O ¸si O1 rămân fixe, ¸si deci, în particular, prin proprietăt¸ile
corpurilor rigide, întregul segment cuprins între punctele O ¸si O1
rămân fixe, de asemenea.
Observat¸ie 1.2.3 Un corp rigid care cont¸ine o axă fixă formează un sistem
cu numai un grad de libertate. Este posibil să alegem unghiul ϕ format de un
plan fix al corpului care cont¸ine axa O − O1cu un alt plan fix care cont¸ine de
asemenea axa fixă O − O1 (figura 1.15) ca unic parametru.
Definit¸ie 1.2.9 Mi¸scarea unui corp rigid se nume¸ste de rotat¸ie dacă toate
punctele care se află pe o dreaptă fixă din corp rămân fixe. Această dreaptă
poartă numele de axă de rotat¸ie.
Să alegem, ca un triplet fix în spat¸iu, un sistem de axe ortogonale cu originea
în O ¸si axa x3 având aceea¸si direct¸ie ca (O1 −O). Ca de obicei, se alege tripletul
ata¸sat corpului cu originea în O cu axa y3 să coincidedă cu x3, care deci va
avea aceea¸si direct¸ie cu (O1 − O). Notând cu ϕ unghiul x1y1, putem exprima
cosinusurile directoare αhk ca funct¸ii de acest unghi. Astfel avem
(αhk) =
⎛
⎝
x 1
y 1
cos ϕ − sin ϕ 0
sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
⎞
⎠ . (1.91)
Prin urmare, ecuat¸iile mi¸scării de rotat¸ie ale unui corp rigid au următoarea
formă:
x1(t) = cos ϕ(t) y1 − sin ϕ(t) y2,
x2(t) = sin ϕ(t) y1 + cos ϕ(t) y2, (1.92)
x3(t) = y3.