Curs Mecanica

54 CAPITOLUL 1. CINEMATICA
exista întotdeauna un vector notat prin O ′ − O ′′ , care este ortogonal cu v ⊥ O ′(t),
astfel încât
v ⊥ O ′(t) = ω × (O′ − O ′′ ). (1.135)
De aceea, din (1.128), obt¸inem
vP (t) = v
O ′ + v⊥ O ′ + ω × (P − O′ ).
Prin intermediul relat¸iei (1.135), din ultima egalitate rezultă că
vP (t) = v
O ′ + ω × (P − O′′ ). (1.136)
Dacă P = O ′′ , putem conluziona din (1.136) că v ′′ O ′ este paralel cu ω ¸si egal
cu vO ′′. Prin urmare, starea de mi¸scare exprimată de către (1.136) este una de
roto–translat¸ie.
Dacă ω(t) = 0, atunci rezultă că starea de mi¸scare la momentul t este de
translat¸ie. În cele din urmă, dacă v
O ′(t) = 0, atunci va rezulta că atarea de
mi¸scare la momentul t este de rotat¸ie.
Observat¸ie 1.2.9 Dacă, în timpul mi¸scării unui corp rigid, un anumit punct
O ′ rămâne fix, t¸inând cont de faptul că vO ′ = 0, din (1.128) concluzionăm
vP (t) = ω(t) × (P − O ′ ). (1.137)
Astfel, starea relativă de mi¸scare este de rotat¸ie la fiecare moment t. Cu toate
acestea, este clar că mi¸scarea nu este, în general, de rotat¸ie, pentru că vectorul
ω(t) î¸si poate schimba direct¸ia în timp.
Studiul mi¸scării unui rigid se poate exprima întotdeauna fat¸ă de sistemul
(O ′ , z1, z2, z3) cu originea în O ′ ¸si cu axele z1, z2, z3 paralele cu axele din tripletul
x1, x2, x3 fixat în spat¸iu. În raport cu acest sistem, mi¸scarea poate fi văzută
ca o mi¸scare a unui copr rigid cu un punct fix. Din (1.137), pentru starea de
mi¸scare de rotat¸ie, obt¸inem
v ′ P = ω × (P − O ′ ),
unde v ′ P este viteza punctului P în raport cu (O′ , z1, z2, z3). În plus, vectorul ω
este acela¸si ca în (1.128), din moment ce versorii tripletului (O ′ , z1, z2, z3) coincid
cu cei din (O, x1, x2, x3). De aceea, vectorul ω din formula (1.128) define¸ste
starea de mi¸scare de rotat¸ie a corpului în raport cu sistemul de coordonate
(O ′ , z1, z2, z3).
Observat¸ie 1.2.10 Din moment ce avem identitatea
ω × (ω × v0) = (ω · v0) ω − ω 2 v0,
deducem că, pentru viteze unghiulare nenule,
v0 =
ω · v0
ω 2
ω − 1
ω 2 ω × (ω × v0) . (1.138)